162
8 Stabilit´ e, chaos
Fig. 8.1 Volume de contrˆ ole Ω limit´ e par la surface Σ orient´ ee ext´ erieurement au domaine
l’´ ecart `
a la solution de r´ ef´ erence :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T (x,t) = T 0 (x,t) + θ (x,t)
V (x,t) = V 0 (x,t) + v (x,t)
p (x,t) = p 0 (x,t) + π (x,t)
La solution de r´ ef´ erence satisfaisant elle-mˆ eme aux ´
equations de conservation.
L’introduction des perturbations dans les ´
equations donne le syst` eme:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · v = 0
∂ v
∂t
+ V 0 · ∇v + v · ∇V 0 + v · ∇v = ∇π +
Ra
Pr Re 2 kθ +
1
Re
∇
2
v
∂ θ
∂t
+ V 0 · ∇θ + v · ∇T 0 + v · ∇θ =
1
Re Pr
∇
2
θ
auquel il faut ajouter les conditions aux limites et initiales sur les perturbations.
L’´ etude de l’´ evolution des perturbations au cours du temps permet de pr´ evoir la
stabilit´ e du syst` eme : si les perturbations r´ egressent et tendent vers z´ ero lorsque le
temps t tend vers l’infini, on dira que le syst` eme est stable [19]. L’amplitude des
perturbations superpos´ ees aux solutions de r´ ef´ erence influe sur le crit` ere de stabilit´ e
obtenu ; une solution donn´ ee peut ˆ
etre stable pour des petites perturbations et instable pour des perturbations finies.
Nous pouvons d´ efinir l’´ energie globale de la perturbation :
• ε(t) = 1/2 < �v� 2 >, ´
energie cin´ etique globale de la perturbation
• ε(t) = 1/2 < �θ � 2 >, ´
energie thermique globale,
• ε(t) = 1/2 < �v� 2 + θ 2 >, ´
energie totale de la perturbation
o` u < · >= 1/[Ω ]
��� · dω; [Ω ] est la mesure du volume de Ω .
Le syst` eme sera r´ eput´ e stable si