Chapitre 8
Stabilit´ e, chaos
La transition de l’´ etat d’un syst` eme stable vers un comportement al´ eatoire
pleinement turbulent s’effectue de mani` ere g´ en´ eralement de mani` ere discontinue;
le syst` eme perd sa stabilit´ e pour des conditions critiques bien d´ efinies pour engendrer de nouvelles structures spatio-temporelles plus complexes qui restent stables
pour une certaine gamme de param` etres physiques. L’augmentation des contraintes
appliqu´ ees au syst` eme rendent `
a leur tour ces structures instables. Ces diff´ erentes
bifurcations vers des solutions multiples, instationnaires n’entament pas pour autant la reproductibilit´ e et le d´ eterminisme de l’´ evolution du syst` eme dans un premier
temps. La poursuite vers des ´
etats non d´ eterministes, ap´ eriodiques puis al´ eatoires
s’effectuent pour un nombre fini de bifurcations.
Les th´ eories lin´ eaires et non lin´ eaires de la stabilit´ e, la th´ eorie des bifurcations,
la th´ eorie des catastrophes et en g´ en´ eral l’´ etude des syst` emes dynamiques permet de
qualifier l’´ etat d’un syst` eme et de rechercher les conditions critiques d’apparition
des instabilit´ es ainsi que la forme les plus probables de celles-ci.
8.1 G´ en´ eralit´ es
Consid´ erons un domaine Ω fluide limit´ e par une surface Σ (Fig. 8.1). Les champs
de temp´ erature, masse volumique, pression, vitesses sont d´ etermin´ es par un fluide
newtonien de Boussinesq par les ´
equations d’´ energie, continuit´ e de quantit´ e de mouvement.
Les ´
equations ´
etant non lin´ eaires, les solutions de celles-ci ne sont, en g´ en´ eral,
pas uniques. Nous d´ esignerons T 0 (x,t), V 0 (x,t), ρ 0 (x,t), p 0 (x,t) les champs de
r´ ef´ erence ou de base satisfaisant aux ´
equations de conservation et aux conditions
aux limites et initiales.
Parmi celles-ci seules quelques unes ou une seule a une r´ ealit´ e physique et le
probl` eme qui se pose alors est de savoir reconnaˆ ıtre les solutions stables et les solutions instables. L’´ etude de la stabilit´ e des ´
ecoulements, isothermes ou non, peut
ˆ
etre effectu´ ee en ” perturbant ” le syst` eme d’´ equations la solution de r´ ef´ erence
T 0 (x,t), V 0 (x,t), p 0 (x,t) par des perturbations θ (x,t), v 0 (x,t), π 0 (x,t) caract´ erisant
161
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_8,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Stabilit´ e, chaos
La transition de l’´ etat d’un syst` eme stable vers un comportement al´ eatoire
pleinement turbulent s’effectue de mani` ere g´ en´ eralement de mani` ere discontinue;
le syst` eme perd sa stabilit´ e pour des conditions critiques bien d´ efinies pour engendrer de nouvelles structures spatio-temporelles plus complexes qui restent stables
pour une certaine gamme de param` etres physiques. L’augmentation des contraintes
appliqu´ ees au syst` eme rendent `
a leur tour ces structures instables. Ces diff´ erentes
bifurcations vers des solutions multiples, instationnaires n’entament pas pour autant la reproductibilit´ e et le d´ eterminisme de l’´ evolution du syst` eme dans un premier
temps. La poursuite vers des ´
etats non d´ eterministes, ap´ eriodiques puis al´ eatoires
s’effectuent pour un nombre fini de bifurcations.
Les th´ eories lin´ eaires et non lin´ eaires de la stabilit´ e, la th´ eorie des bifurcations,
la th´ eorie des catastrophes et en g´ en´ eral l’´ etude des syst` emes dynamiques permet de
qualifier l’´ etat d’un syst` eme et de rechercher les conditions critiques d’apparition
des instabilit´ es ainsi que la forme les plus probables de celles-ci.
8.1 G´ en´ eralit´ es
Consid´ erons un domaine Ω fluide limit´ e par une surface Σ (Fig. 8.1). Les champs
de temp´ erature, masse volumique, pression, vitesses sont d´ etermin´ es par un fluide
newtonien de Boussinesq par les ´
equations d’´ energie, continuit´ e de quantit´ e de mouvement.
Les ´
equations ´
etant non lin´ eaires, les solutions de celles-ci ne sont, en g´ en´ eral,
pas uniques. Nous d´ esignerons T 0 (x,t), V 0 (x,t), ρ 0 (x,t), p 0 (x,t) les champs de
r´ ef´ erence ou de base satisfaisant aux ´
equations de conservation et aux conditions
aux limites et initiales.
Parmi celles-ci seules quelques unes ou une seule a une r´ ealit´ e physique et le
probl` eme qui se pose alors est de savoir reconnaˆ ıtre les solutions stables et les solutions instables. L’´ etude de la stabilit´ e des ´
ecoulements, isothermes ou non, peut
ˆ
etre effectu´ ee en ” perturbant ” le syst` eme d’´ equations la solution de r´ ef´ erence
T 0 (x,t), V 0 (x,t), p 0 (x,t) par des perturbations θ (x,t), v 0 (x,t), π 0 (x,t) caract´ erisant
161
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_8,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013