7.5 Equations de la couche limite sur plaque plane
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⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ u
∂ x
+
∂ w
∂ z
= 0
u
∂ u
∂ x
+ w
∂ u
∂ z
= ν
∂ 2 u
∂ z 2
∂ p
∂ z
= 0
avec les conditions
⎧
⎨
⎩
u(x, 0) = 0
w(x, 0) = 0
u(x, ∞) = V 0
Introduisons la fonction de courant :
u =
∂ ψ
∂ z
, w = −
∂ ψ
∂ x
w(x, 0) = 0
u(x, ∞) = V 0
et
∂ ψ
∂ z
∂ 2 ψ
∂ x∂ z
−
∂ ψ
∂ x
∂ 2 ψ
∂ z 2 = ν
∂ 3 ψ
∂ z 3
∂ ψ
∂ z
(x, 0) = 0
∂ ψ
∂ x
(x, 0) = 0
∂ ψ
∂ z
(x, ∞) = V 0
La 2` eme condition peut ˆ
etre transform´ ee :
� x 2
x 1
∂ ψ
∂ x
(x, 0)dx = ψ(x 2 , 0) − ψ(x 1 , 0) = 0
Si on choisit ψ(x, 0) = 0 la 2` eme condition est automatiquement v´ erifi´ ee
Nous allons chercher s’il est possible d’´ ecrire
u(x, z)
V 0
= Φ
� z
δ
�
o` u Φ serait la mˆ eme fonction pour tout x. On sait que
δ ≈
� νx
V 0
� 1/2