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7 La couche limite - ε = δ /L → 0
7.5 Equations de la couche limite sur plaque plane
Nous consid´ erons l’´ ecoulement bidimensionnel d’un fluide incompressible au
voisinage d’une plaque plane. Nous avons :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ u
∂ x
+
∂ w
∂ z
= 0
u
∂ u
∂ x
+ w
∂ u
∂ z
= −
1
ρ
∂ p
∂ x
+ ν
� ∂ 2 u
∂ x 2 +
∂ 2 u
∂ z 2
�
u
∂ w
∂ x
+ w
∂ w
∂ z
= −
1
ρ
∂ p
∂ z
+ ν
� ∂ 2 w
∂ x 2 +
∂ 2 w
∂ z 2
�
avec les conditions aux limites :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(x, 0) = 0
w(x, 0) = 0
u(x, ∞) = V 0 (x)
Nous allons effectuer une estimation a priori des termes qui apparaissent dans les
´
equations. Nous utilisons deux ´
echelles caract´ eristiques :
• δ l’´ epaisseur de la couche limite
• L une longueur caract´ eristique dans la direction de l’´ ecoulement
avec δ /L << 1
∂ u
∂ x
≈
V 0
L
,
∂ w
∂ z
≈
W 0
δ
• L’´ equation de continuit´ e devient :
W 0
δ
≈
V 0
L
, W 0 ≈ V 0
δ
L
• L’´ equation de quantit´ e de mouvement suivant x :
V 2
0
L
����
1
� V 0 δ
L
� V 0
δ
� �� �
2
=
1
ρ
∂ p
∂ x
� �� �
3
ν
V 0
L 2
����
4
ν
V 0
δ 2
����
5
Le quatri` eme << au cinqui` eme
4
5
≈
� δ
L
� 2
<< 1