7.4 Echelles caract´ eristiques de la couche limite
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o` u δ ∗ est homog` ene `
a une longueur ; et :
δ ∗ =
δ
0
1 −
ρ u
ρ e u e
dz
L’´ epaisseur δ ∗ est ” l’´ epaisseur de d´ eplacement ”. C’est la distance `
a laquelle un
´
ecoulement de fluide parfait est d´ eplac´ e par rapport `
a la paroi du fait du ralentissement de l’´ ecoulement `
a l’int´ erieur de la couche limite.
• b - Epaisseur de quantit´ e de mouvement
Consid´ erons le d´ ebit de quantit´ e de mouvement passant `
a l’int´ erieur de la couche
limite :
J =
𨐾 δ
0
ρ u
2 dz
Nous allons comparer ce d´ ebit `
a celui d’un ´
ecoulement de mˆ eme d´ ebit masse
mais ayant comme vitesse, la vitesse externe u e . Le d´ ebit masse passant dans la
couche limite est :
q m =
δ
0
ρ u dz
et le d´ ebit de quantit´ e de mouvement s’´ ecrit :
J e = q m u e =
δ
0
ρ u u e dz
La diff´ erence de d´ ebits de quantit´ e de mouvement est donc :
J e − J = q m u e =
δ
0
ρ u (u e − u) dz
et cette diff´ erence peut ˆ
etre ´
ecrite :
J e − J = ρ e u
2
e θ
θ est homog` ene `
a une longueur et repr´ esente la perte de quantit´ e de mouvement
due `
a la couche limite. θ est appel´ ee ´
epaisseur de perte de quantit´ e de mouvement
ou ´
epaisseur de quantit´ e de mouvement:
θ =
δ
0
ρu
ρ e u e
1 −
u
u e
dz
Pour montrer l’utilit´ e d’une telle quantit´ e consid´ erons une plaque plane (Fig. 7.9);
dans cette situation il n’y a pas de gradient de pression dans la direction axiale.
Pour d´ eterminer la force pari´ etale exerc´ ee par l’´ ecoulement sur la plaque, on peut
effectuer le bilan des quantit´ es de mouvement pour le volume de contrˆ ole ABCD.