6.4 Ecoulements en milieux poreux
137
En fait cette loi de Darcy-Forchheimer comme bien d’autres a ´
et´ e ´
elabor´ ee dans
un souci de formalisme universaliste, penchant de tout scientifique `
a la recherche
de lois g´ en´ erales. Cette loi si elle donne de tr` es bon r´ esultats pour des nombres
de Reynolds de pores sup´ erieurs `
a 20, ne permet pas de raccorder pr´ ecis´ ement
la loi de Darcy et de repr´ esenter correctement l’´ evolution de la perte de charge en
fonction de la vitesse dans des gammes interm´ ediaires. De nombreux auteurs se sont
attach´ es `
a proposer des exposants pour le terme en module de la vitesse, notamment
en puissance 0.5. En fait il est plus judicieux d’´ ecrire simplement :
−∇p −
μ
K(V)
V = 0
o` u K est le tenseur de perm´ eabilit´ e qui d´ epend de la vitesse et de la nature du milieu
poreux.
Mod` ele de Hele-Shaw
La similitude entre un ´
ecoulement de Poiseuille dans un capillaire et l’´ ecoulement
d’un fluide en milieu poreux, notamment l’absence d’effets d’inertie, a conduit `
a une
analogie pour repr´ esenter des ph´ enom` enes complexes en milieu poreux. Le mod` ele
2D de Hele-Shaw consiste `
a cr´ eer un ´
ecoulement entre deux plans de grandes extensions lat´ erales L et distants de d avec d << L (Fig. 6.4). On peut ainsi repr´ esenter
par exemple des ´
ecoulements dans un milieu poreux en pr´ esence d’obstacles ou des
´
ecoulements polyphasiques non miscibles. L’avantage est de visualiser ais´ ement les
ph´ enom` enes en transparence.
Fig. 6.4 Ecoulement en milieu poreux : la cellule de Hele-Shaw form´ ee par deux parois planes
distantes de d g´ en` erent un ´
ecoulement de Stokes qui mod´ elise l’´ ecoulement en milieux poreux
autour d’un cylindre
La perm´ eabilit´ e effective de la cellule de Hele-Shaw s’obtient par identification
entre la loi de Poiseuille et de Darcy. La solution dite de Poiseuille obtenue par
int´ egration de l’´ equation de Stokes s’´ ecrit :
u(z) =
3
2
V 0
1 −
4 z 2
d 2
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En fait cette loi de Darcy-Forchheimer comme bien d’autres a ´
et´ e ´
elabor´ ee dans
un souci de formalisme universaliste, penchant de tout scientifique `
a la recherche
de lois g´ en´ erales. Cette loi si elle donne de tr` es bon r´ esultats pour des nombres
de Reynolds de pores sup´ erieurs `
a 20, ne permet pas de raccorder pr´ ecis´ ement
la loi de Darcy et de repr´ esenter correctement l’´ evolution de la perte de charge en
fonction de la vitesse dans des gammes interm´ ediaires. De nombreux auteurs se sont
attach´ es `
a proposer des exposants pour le terme en module de la vitesse, notamment
en puissance 0.5. En fait il est plus judicieux d’´ ecrire simplement :
−∇p −
μ
K(V)
V = 0
o` u K est le tenseur de perm´ eabilit´ e qui d´ epend de la vitesse et de la nature du milieu
poreux.
Mod` ele de Hele-Shaw
La similitude entre un ´
ecoulement de Poiseuille dans un capillaire et l’´ ecoulement
d’un fluide en milieu poreux, notamment l’absence d’effets d’inertie, a conduit `
a une
analogie pour repr´ esenter des ph´ enom` enes complexes en milieu poreux. Le mod` ele
2D de Hele-Shaw consiste `
a cr´ eer un ´
ecoulement entre deux plans de grandes extensions lat´ erales L et distants de d avec d << L (Fig. 6.4). On peut ainsi repr´ esenter
par exemple des ´
ecoulements dans un milieu poreux en pr´ esence d’obstacles ou des
´
ecoulements polyphasiques non miscibles. L’avantage est de visualiser ais´ ement les
ph´ enom` enes en transparence.
Fig. 6.4 Ecoulement en milieu poreux : la cellule de Hele-Shaw form´ ee par deux parois planes
distantes de d g´ en` erent un ´
ecoulement de Stokes qui mod´ elise l’´ ecoulement en milieux poreux
autour d’un cylindre
La perm´ eabilit´ e effective de la cellule de Hele-Shaw s’obtient par identification
entre la loi de Poiseuille et de Darcy. La solution dite de Poiseuille obtenue par
int´ egration de l’´ equation de Stokes s’´ ecrit :
u(z) =
3
2
V 0
1 −
4 z 2
d 2