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6 Approximation de Stokes - Re → 0
6.4.3 Loi de Darcy
La loi ph´ enom´ enologique de Darcy peut s’´ ecrire sous forme locale de la mani` ere
suivante :
−∇p −
μ
K
V = 0
o` u μ est la viscosit´ e dynamique.
V est ici une vitesse moyenne barycentrique appel´ ee vitesse de filtration. On
d´ efinit aussi la vitesse interstitielle comme V f = V/ε.
Pour construire une ´
equation du mouvement `
a l’instar de l’´ equation de NavierStokes, un terme instationnaire lui a ´
et´ e adjoint, terme pond´ er´ e par la porosit´ e:
ε
∂ V
∂t
= −∇p −
μ
K
V
Toutefois une mise sous forme adimensionnelle permet de v´ erifier que ce terme est
largement n´ egligeable dans toutes les applications pratiques. La division du substrat
solide favorise sensiblement les effets visqueux par rapport aux autres effets.
6.4.4 Loi d’Ergun, ´
equation de Darcy-Forchheimer
Lorsque la vitesse augmente au sein d’un milieu poreux, les effets inertiels `
a
l’´ echelle de chaque pore commencent `
a apparaˆ ıtre. Cet effet prend de l’importance
`
a partir d’un nombre de Reynolds de pore
Re p =
ρ V 0
√
K
μ
de l’ordre de 5. Au-del` a le gradient de pression augmente plus vite que la vitesse.
Les changements fr´ equents de trajectoire du fluide au sein du milieu poreux conduisent `
a une perte relative de l’´ energie cin´ etique du fluide le long de son parcours.
De nombreux travaux anciens et plus r´ ecents ont eut pour objet d’identifier un
terme suppl´ ementaire `
a int´ egrer `
a l’´ equation de Darcy. Ergun, Forchheimer ont propos´ e une loi de Darcy modifi´ ee :
−∇p −
μ
K
V +
β ρ
√
K
�V�V = 0
ou β est le coefficient de Forchheimer d´ ependant de la nature du milieu poreux.
Cette loi de Darcy-Forchheimer est couramment utilis´ ee pour les ´
ecoulements en
milieux poreux en pr´ esence d’effets inertiels. Il est bien entendu que ces ´
ecoulements
restent la plupart du temps laminaires. Le probl` eme de la turbulence en milieu
poreux se rencontre quelquefois dans l’industrie pour des gammes de vitesse plus
´
elev´ ees et dans ce cas la notion de milieu poreux rejoint celle des milieux h´ et´ erog` enes
`
a g´ eom´ etries complexes.
6 Approximation de Stokes - Re → 0
6.4.3 Loi de Darcy
La loi ph´ enom´ enologique de Darcy peut s’´ ecrire sous forme locale de la mani` ere
suivante :
−∇p −
μ
K
V = 0
o` u μ est la viscosit´ e dynamique.
V est ici une vitesse moyenne barycentrique appel´ ee vitesse de filtration. On
d´ efinit aussi la vitesse interstitielle comme V f = V/ε.
Pour construire une ´
equation du mouvement `
a l’instar de l’´ equation de NavierStokes, un terme instationnaire lui a ´
et´ e adjoint, terme pond´ er´ e par la porosit´ e:
ε
∂ V
∂t
= −∇p −
μ
K
V
Toutefois une mise sous forme adimensionnelle permet de v´ erifier que ce terme est
largement n´ egligeable dans toutes les applications pratiques. La division du substrat
solide favorise sensiblement les effets visqueux par rapport aux autres effets.
6.4.4 Loi d’Ergun, ´
equation de Darcy-Forchheimer
Lorsque la vitesse augmente au sein d’un milieu poreux, les effets inertiels `
a
l’´ echelle de chaque pore commencent `
a apparaˆ ıtre. Cet effet prend de l’importance
`
a partir d’un nombre de Reynolds de pore
Re p =
ρ V 0
√
K
μ
de l’ordre de 5. Au-del` a le gradient de pression augmente plus vite que la vitesse.
Les changements fr´ equents de trajectoire du fluide au sein du milieu poreux conduisent `
a une perte relative de l’´ energie cin´ etique du fluide le long de son parcours.
De nombreux travaux anciens et plus r´ ecents ont eut pour objet d’identifier un
terme suppl´ ementaire `
a int´ egrer `
a l’´ equation de Darcy. Ergun, Forchheimer ont propos´ e une loi de Darcy modifi´ ee :
−∇p −
μ
K
V +
β ρ
√
K
�V�V = 0
ou β est le coefficient de Forchheimer d´ ependant de la nature du milieu poreux.
Cette loi de Darcy-Forchheimer est couramment utilis´ ee pour les ´
ecoulements en
milieux poreux en pr´ esence d’effets inertiels. Il est bien entendu que ces ´
ecoulements
restent la plupart du temps laminaires. Le probl` eme de la turbulence en milieu
poreux se rencontre quelquefois dans l’industrie pour des gammes de vitesse plus
´
elev´ ees et dans ce cas la notion de milieu poreux rejoint celle des milieux h´ et´ erog` enes
`
a g´ eom´ etries complexes.