6.4 Ecoulements en milieux poreux
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Consid´ erons un cylindre de section circulaire de rayon R = 1 dans un milieu
infini (Fig. 6.3). La vitesse `
a l’infini est constante et ´
egale `
a V 0 = 1.
Fig. 6.3 Ecoulement autour d’un cylindre `
a section circulaire dans un milieu infini en r´ egime de
Stokes; la vitesse `
a l’infini est ´
egale `
a V = V 0 e x ; (r, θ ) sont les coordonn´ ees polaires
⎧
⎨
⎩
∇ 2 ∇ 2 ψ = 0
r ⇒ ∞ ψ = r sin θ
r = 1 ψ = 0, ∂ ψ/∂ r = 0
La solution dont le d´ etail est donn´ ee plus loin (voir chapitre 10) s’´ ecrit :
ψ(r, θ ) = 2D
�
r Logr −
r
2
+
1
2 r
�
sin θ
Comme on peut le voir ∀D il est impossible de raccorder `
a la solution `
a l’infini :
c’est le paradoxe de Stokes.
On peut montrer que loin du cylindre, lorsque r ≈ 1/Re, que la solution doit ˆ
etre
remplac´ ee par la solution d’Oseen :
ψ(r, θ ) = r sin θ
6.4 Ecoulements en milieux poreux
6.4.1 G´ en´ eralit´ es
En ´
etudiant le r´ eseau d’alimentation en eau de la ville de Dijon, Darcy a montr´ e que
la perte de charge au travers d’un milieu poreux ´
etait proportionnelle `
a la vitesse