132
6 Approximation de Stokes - Re → 0
On peut d´ emontrer que ce taux de dissipation est minimum pour les ´
ecoulements
laminaires. Pour les ´
ecoulements turbulents le taux de dissipation augmente.
6.2.5 Efforts en r´ egime de Stokes
6.2.5.1 Lin´ earit´ e entre vitesse et force
On montrera que
F = −C μ D V = 0
o` u C est une constante associ´ ee `
a la forme du profil.
6.2.5.2 Propri´ et´ e de la sym´ etrie des ´
ecoulements
translation : colin´ earit´ e des forces de frottements et de la vitesse. Exemple carr´ e
tombant sous l’influence de la gravit´ e dans un fluide visqueux. La force s’applique
au centre de gravit´ e du solide.
6.3 Exemples d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes
6.3.1 Cylindre circulaire en milieu infini - paradoxe de Stokes
On a :
∇ · V = 0
−∇p + ∇ 2 V = 0
∃ψ ⇒ ∇ · V = 0, U =
∂ ψ
∂ z
, W = −
∂ ψ
∂ x
,
En prenant le rotationnel de l’´ equation de Stokes on obtient :
∇
4
ψ = 0
Sous r´ eserve que le contour(C) soit simplement connexe et sans point singulier,
il n’existe aucune solution de l’´ equation biharmonique v´ erifiant les conditions aux
limites V = 0 sur (C) et V = V 0 `
a l’infini.
Cas du cylindre circulaire