6.2 Propri´ et´ es de l’´ equation de Stokes
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le ph´ enom` ene de lubrification. On peut montrer que la sph` ere ne sera jamais en
contact avec la paroi en un temps fini.
Ce r´ esultat ne peut ˆ
etre mis en ´
evidence exp´ erimentalement; en effet dans la
pratique les parois ne sont pas parfaitement lisses et les rayures `
a l’´ echelle microscopique drainent le fluide ce qui permet le contact de la sph` ere sur les asp´ erit´ es
sup´ erieures.
6.2.3 Additivit´ e
Soient V 1 et V 2 , deux champs de vitesse solution de l’´ equation de Stokes, ∇p 1 et
∇p 2 , deux champs de gradients de pression correspondant et deux r´ eels λ 1 et λ 2
.L’additivit´ e conduit `
a d´ efinir un nouveau champ de vitesse et un nouveau champ de
pression, solution de Stokes:
V = λ 1 V 1 + λ 2 V 2
∇p = λ 1 ∇p 1 + λ 2 ∇p 2
Exemple : Superposition de deux ´
ecoulements : les ´
ecoulements Couette plan et
Poiseuille plan donne une nouvelle solution de l’´ equation de Stokes (Fig. 6.2).
Fig. 6.2 Superposition d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes; la superposition d’un ´
ecoulement de
Couette plan et de Poiseuille donne un autre ´
ecoulement r´ egi par l’´ equation de Stokes
Chaos lagrangien : Il existe toutefois des situations ou l’´ ecoulement en r´ egime
de Stokes ne conduit pas `
a une r´ eversibilit´ e compl` ete. C’est le cas o` u les deux cylindres pr´ ec´ edents ne sont plus parfaitement coaxiaux. Dans cette situation il existe une
tr` es grande sensibilit´ e des trajectoires du traceur `
a la forme des lignes de courant qui
dans ce cas ne sont plus circulaires (ph´ enom` ene utilis´ e pour les m´ elangeurs).
6.2.4 Minimisation de la dissipation
On peut montrer qu’un ´
ecoulement r´ egi par une ´
equation de Stokes dissipe une
´
energie inf´ erieure `
a tout autre ´
ecoulement incompressible poss´ edant les mˆ emes conditions aux limites.
On appelle | ε | le taux de dissipation de l’´ energie cin´ etique
| ε |=
Ω
σ i j
∂V i
∂ x j
dv =
μ
2
Ω
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
2
dv
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le ph´ enom` ene de lubrification. On peut montrer que la sph` ere ne sera jamais en
contact avec la paroi en un temps fini.
Ce r´ esultat ne peut ˆ
etre mis en ´
evidence exp´ erimentalement; en effet dans la
pratique les parois ne sont pas parfaitement lisses et les rayures `
a l’´ echelle microscopique drainent le fluide ce qui permet le contact de la sph` ere sur les asp´ erit´ es
sup´ erieures.
6.2.3 Additivit´ e
Soient V 1 et V 2 , deux champs de vitesse solution de l’´ equation de Stokes, ∇p 1 et
∇p 2 , deux champs de gradients de pression correspondant et deux r´ eels λ 1 et λ 2
.L’additivit´ e conduit `
a d´ efinir un nouveau champ de vitesse et un nouveau champ de
pression, solution de Stokes:
V = λ 1 V 1 + λ 2 V 2
∇p = λ 1 ∇p 1 + λ 2 ∇p 2
Exemple : Superposition de deux ´
ecoulements : les ´
ecoulements Couette plan et
Poiseuille plan donne une nouvelle solution de l’´ equation de Stokes (Fig. 6.2).
Fig. 6.2 Superposition d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes; la superposition d’un ´
ecoulement de
Couette plan et de Poiseuille donne un autre ´
ecoulement r´ egi par l’´ equation de Stokes
Chaos lagrangien : Il existe toutefois des situations ou l’´ ecoulement en r´ egime
de Stokes ne conduit pas `
a une r´ eversibilit´ e compl` ete. C’est le cas o` u les deux cylindres pr´ ec´ edents ne sont plus parfaitement coaxiaux. Dans cette situation il existe une
tr` es grande sensibilit´ e des trajectoires du traceur `
a la forme des lignes de courant qui
dans ce cas ne sont plus circulaires (ph´ enom` ene utilis´ e pour les m´ elangeurs).
6.2.4 Minimisation de la dissipation
On peut montrer qu’un ´
ecoulement r´ egi par une ´
equation de Stokes dissipe une
´
energie inf´ erieure `
a tout autre ´
ecoulement incompressible poss´ edant les mˆ emes conditions aux limites.
On appelle | ε | le taux de dissipation de l’´ energie cin´ etique
| ε |=
Ω
σ i j
∂V i
∂ x j
dv =
μ
2
Ω
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
2
dv