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6 Approximation de Stokes - Re → 0
Pour le montrer prenons un exemple simple correspondant `
a un ´
ecoulement laminaire incompressible stationnaire entre deux plans :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂ 2 u
∂ z 2 = 0
u = 0 pour z = 0 et 1
La solution de ce syst` eme u(z) = az + b associ´ ee aux conditions aux limites conduit `
a une vitesse identiquement nulle u = 0.
Ce comportement est dˆ u au mauvais choix de l’adimensionnement de la pression
bas´ ee sur les forces d’inertie n´ eglig´ es ici. Physiquement la pression tend vers z´ ero
comme la vitesse et il est donc n´ ecessaire de rendre la pression adimensionnelle
avec les forces visqueuses par unit´ e de surface μV 0 /H
6.1.2 Les diff´ erentes formes de l’´ equation de Stokes
L’´ equation de Stokes [22] ne fait intervenir que le terme correspondant au tenseur
des contraintes :
∇ · σ = 0
ou
∂ σ i j
∂ x j
= 0
A partir de l’´ equation de Stokes sous la forme :
−∇p + μ∇
2
V = 0
En tenant compte de
∇
2
V = ∇ (∇ · V) − ∇ × ∇ × V
et en posant
ω = ∇ × V
il vient
−∇p + μ∇ × ω = 0
En prenant la divergence de cette ´
equation il vient aussi :
∇
2 p = 0