Chapitre 6
Approximation de Stokes - Re → 0
L’approximation de Stokes peut apparaˆ ıtre au premier abord comme un paradoxe
: il est envisag´ e de calculer un champ de vitesse et le champ de pression associ´ e
lorsque cette vitesse tend vers z´ ero! En fait c’est le nombre de Reynolds qui doit
tendre vers z´ ero et le champ de vitesse obtenu par cette approximation doit ˆ
etre consid´ er´ e comme la limite, si elle existe, de la vitesse calcul´ ee `
a nombre de Reynolds
non nul. Cette approximation conduit quelquefois `
a un probl` eme mal pos´ e, par exemple pour le cas d’un objet 2D dans un ´
ecoulement `
a vitesse constante o` u la solution obtenue est inconsistante avec les conditions aux limites du probl` eme.
La simplicit´ e de l’´ equation de Stokes, notamment sa lin´ earit´ e n’exclut pas la
complexit´ e des solutions obtenues; Par exemple des recirculations, des d´ ecollements
peuvent ˆ
etre observ´ es pour des ´
ecoulements `
a priori tr` es simples comme la cavit´ e
entraˆ ın´ ee.
6.1 Equation de Stokes
6.1.1 Le probl` eme de la pression
Lorsque le nombre de Reynolds tend vers z´ ero, l’adimensionnement des ´
equations
du mouvement mise en oeuvre pour les ´
equations de Navier-Stokes devient inad´ equat.
Dans cette derni` ere situation la pression est rendue adimensionnelle par ρ V 2
0 et
l’´ equation de Navier-Stokes devient :
∂ V
∂t
+ V · ∇V = −∇p +
1
Re
∇
2
V
Si l’on fait tendre directement vers z´ ero le nombre de Reynolds dans cette ´
equation,
on est conduit `
a une ´
equation de Laplace ∇ 2 V = 0. Associ´ ee `
a la contrainte
d’incompressibilit´ e ∇ · V = 0 cette ´
equation est inconsistante.
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J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_6,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013