5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
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Fig. 5.9 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type tourbillon ponctuel `
a
l’origine d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ
V
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u = −
Γ
2πr
sin θ
v =
Γ
2πr
cos θ
dM
�
−r sin θ dθ
r cos θ dθ
On sait que
� dφ est la circulation du vecteur vitesse
� 2π
0 dφ = Γ
Remarque : tourbillon autour de A d’affixe a f (z) = −iΓ /2πr ∗ Log(z − a).
5.3.5.4 Doublet `
a l’origine d’axe Ox
Soit K une constante r´ eelle
f (z) = −
K
2πz
holomorphe dans tout le plan prive de l
� origine
ζ (z) =
K
2πz 2 uniforme (holomorphe dans tout le plan prive de l
� origine)
on pose z = re iθ
f (z) = −
K
2πr
e
−iθ
= −
K
2πr
(cos θ − i sin θ )
ζ (z) =
K
2πr 2 e
−2iθ
ψ = ℑ( f (z)) = K/2πr ∗ sinθ les lignes de courant sont donc les lignes d’´ equation
K/2πr ∗ sinθ = Cte soit en coordonn´ ees cart´ esiennes r 2 = x 2 + y 2 , sin θ = y/r