120
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
Fig. 5.8 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type source ou puits d´ efini
par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ
5.3.5.3 Tourbillon r´ egulier ponctuel
f (z) = −
iΓ
2π
Log(z)
ζ (z) = −
iΓ
2πz
Γ une constante r´ eelle; f (z) analytique dans tout le plan priv´ e de l’origine; ζ est
une fonction uniforme On pose z = re iθ
f (z) = −
iΓ
2π
(Log(r) + iθ ) =
Γ
2π
θ − i
Γ
2π
Log(r)
ζ (z) = −
iΓ
2πr
e
−iθ
=
Γ
2πr
e
−i(θ +π/2)
=
Γ
2πr
(cos(−(θ + π/2)) + i sin (−(θ + π/2))
Donc pour Γ > 0 le module de la vitesse est Γ /2πr et l’angle qu’elle fait avec
Ox : θ + π/2, (image de ζ conjugu´ e de l’image de la vitesse).
ψ = ℑ( f (z)) = −Γ /2πr ∗Log(r) : les lignes de courant sont des cercles de centre
O et de rayon r.
φ = ℜ( f (z)) = Γ /2π ∗ θ : les ´
equipotentielles sont des droites issues de l’origine
(Fig. 5.9).
La circulation du vecteur vitesse autour d’un cercle (C) de rayon r quelconque,
dans le sens positif est ´
egale `
a Γ