5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
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Fig. 5.7 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement uniforme d´ efini par un potentiel
complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ
f (z) = az + b repr´ esente l’´ ecoulement du tour de plaques planes ou de portions
de plaques plac´ ees sans incidence par rapport `
a la vitesse `
a l’infini.
5.3.5.2 Source et puits, D > 0 et D < 0
f (z) =
D
2π
Log(z)
f (z) est analytique dans tout le plan sauf `
a l’origine o` u f (z) → ∞
ζ (z)/2πz est bien une fonction uniforme.
Si l’on pose z = re iθ
f (z) =
D
2π
Log(r) +
iD
2π
θ
ζ (z) =
D
2πr
e
−iθ
=
D
2πr
(cos θ − i sin θ )
u =
D
2πr
cos θ , v =
D
2πr
sin θ
et V 2 = u 2 + v 2 = D 2 /4πr 2 .
ψ = ℑ( f (z)) = (D/2π)θ les lignes de courant sont les droites θ = Cte.
φ = ℜ( f (z)) = (D/2π)Logr donc les ´
equipotentielles sont des cercles centr´ es
sur l’origine (Fig. 5.8).
Le d´ ebit `
a travers n’importe quel cercle C centr´ e sur O est V 2πr = D/2πr ∗2πr =
D = Cte en vertu de la conservation de la masse pour un fluide incompressible.
Remarque : le potentiel complexe associ´ e `
a l’´ ecoulement d’une source ou d’un
puits de d´ ebit D est plac´ e au point d’affixe a est f (z) = D/2πLog(z − a).