118
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
types de singularit´ es des fonctions analytiques. On classe ces singularit´ es en trois
cat´ egories.
• 1 - Les pˆ oles d’ordre n (n entier positif) au voisinage desquels f (z) a les comportements suivants :
⎧
⎨
⎩
f (z) =
A
(z − z 0 ) n si z 0 est a distance finie
f (z) = A z n si le pole est a l � infini
• 2 - Les points de branchement que l’on subdivise eux-mˆ eme en 2 cat´ egories :
- points de branchement o` u :
f (z) ≈ A(z − z 0 ) α , α non entier positif ou n´ egatif si z 0 est `
a distance finie
f (z) ≈ Az α si le point de branchement est `
a l’infini ou `
a l’origine
- points de branchements o` u :
f (z) = ALog(z − z 0 ) si z 0 est `
a distance finie
f (z) = ALogz si le point de branchement est `
a l’infini ou `
a l’origine
• 3 - Les singularit´ es essentielles qui regroupent toutes les autres singularit´ es possibles, par exemple :
f (z) ≈ e 1/(z−z 0 )
f (z) ≈ sin(z − z 0 )
f (z) ≈ Log (Log(z − z 0 ))
etc.
5.3.5 Champs ´
el´ ementaires
5.3.5.1 Ecoulement uniforme
Pˆ ole simple `
a l’infini : f (z) = a z + b, a et b constantes.
ζ (z) =
d f
dz
= a = Cte
Posons a = V 0 e i α , f (z) repr´ esente l’´ ecoulement uniforme de vitesse V 0 dont les
lignes de courant font l’angle α avec l’axe des x. Equation des lignes de courant
ψ = Cte (Fig. 5.7)
f (z) = V 0 (cos α − i sin α)(x + iy)
ψ = V 0 (−x sin α + y cos α)
ψ = k ⇒ −x sin α = −y cos α + k
y = x tan α +Cte
ζ a pour image le vecteur sym´ etrique /Ox de V.