5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
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5.3.3.2 Th´ eor` eme de Liouville
Une fonction holomorphe dans tout le plan complexe (y compris le point `
a
l’infini) est une constante.
Il en r´ esulte qu’une fonction analytique f (z) est compl` etement d´ etermin´ ee `
a
l’aide de ses seules singularit´ es. En effet, au voisinage d’un point singulier z i , on
peut toujours d´ evelopper la fonction f (z) sous la forme :
f (z) ≈ S i (z) + a 0 + a 1 (z − z i ) +
a 2
2
(z − z i )
2
+ ...
o` u S i (z) d´ esigne l’ensemble des termes singuliers au point z i , le reste du d´ eveloppement ´
etant une s´ erie de Taylor classique. Si on connaˆ ıt tous les S i (z) correspondant
aux z i points singuliers de f (z), la fonction :
g(z) = f (z) −
n
∑
i=1
S i (z)
ne pr´ esente plus aucune singularit´ e dans tout le plan complexe, puisqu’elle est maintenant d´ eveloppable en s´ erie de Taylor en tout point du plan. Par application du
th´ eor` eme de Liouville, il r´ esulte que g(z) est une constante, que l’on peut toujours
choisir nulle, le potentiel complexe ´
etant d´ efini `
a une constante additive pr` es, et on
en d´ eduit :
f (z) =
n
∑
i=1
S i (z)
On voit ainsi se dessiner une premi` ere m´ ethode de r´ esolution du probl` eme direct
en trois ´
etapes :
• Prolonger le domaine de d´ efinition de f (z) `
a tout le plan,
• Reconnaˆ ıtre les singularit´ es de f (z) (singularit´ es qui sont n´ ecessairement en dehors de (D), o` u f est holomorphe, donc `
a l’int´ erieur des obstacles),
• Finalement, appliquer le r´ esultat pr´ ec´ edent et d´ eterminer f (z) dans tout le plan,
donc, en particulier dans (D).
5.3.4 Probl` eme inverse : champs ´
el´ ementaires correspondant aux
singularit´ es des fonctions analytiques
D’apr` es le th´ eor` eme de Liouville, l’absence de singularit´ es dans l’ensemble du plan
complexe entraˆ ıne f constant, c’est `
a dire ζ = 0 ce qui correspond `
a un fluide au
repos `
a chaque instant. Ce cas trivial ´
etant ´
ecart´ e, on voit qu’il ne peut y avoir
mouvement que s’il y a des singularit´ es (au moins en 1 point du plan complexe).
Celles-ci jouant un rˆ ole essentiel, ainsi qu’on vient de le signaler, dans la
recherche de f (z), il est naturel d’´ etudier d’abord les champs induits par les divers
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5.3.3.2 Th´ eor` eme de Liouville
Une fonction holomorphe dans tout le plan complexe (y compris le point `
a
l’infini) est une constante.
Il en r´ esulte qu’une fonction analytique f (z) est compl` etement d´ etermin´ ee `
a
l’aide de ses seules singularit´ es. En effet, au voisinage d’un point singulier z i , on
peut toujours d´ evelopper la fonction f (z) sous la forme :
f (z) ≈ S i (z) + a 0 + a 1 (z − z i ) +
a 2
2
(z − z i )
2
+ ...
o` u S i (z) d´ esigne l’ensemble des termes singuliers au point z i , le reste du d´ eveloppement ´
etant une s´ erie de Taylor classique. Si on connaˆ ıt tous les S i (z) correspondant
aux z i points singuliers de f (z), la fonction :
g(z) = f (z) −
n
∑
i=1
S i (z)
ne pr´ esente plus aucune singularit´ e dans tout le plan complexe, puisqu’elle est maintenant d´ eveloppable en s´ erie de Taylor en tout point du plan. Par application du
th´ eor` eme de Liouville, il r´ esulte que g(z) est une constante, que l’on peut toujours
choisir nulle, le potentiel complexe ´
etant d´ efini `
a une constante additive pr` es, et on
en d´ eduit :
f (z) =
n
∑
i=1
S i (z)
On voit ainsi se dessiner une premi` ere m´ ethode de r´ esolution du probl` eme direct
en trois ´
etapes :
• Prolonger le domaine de d´ efinition de f (z) `
a tout le plan,
• Reconnaˆ ıtre les singularit´ es de f (z) (singularit´ es qui sont n´ ecessairement en dehors de (D), o` u f est holomorphe, donc `
a l’int´ erieur des obstacles),
• Finalement, appliquer le r´ esultat pr´ ec´ edent et d´ eterminer f (z) dans tout le plan,
donc, en particulier dans (D).
5.3.4 Probl` eme inverse : champs ´
el´ ementaires correspondant aux
singularit´ es des fonctions analytiques
D’apr` es le th´ eor` eme de Liouville, l’absence de singularit´ es dans l’ensemble du plan
complexe entraˆ ıne f constant, c’est `
a dire ζ = 0 ce qui correspond `
a un fluide au
repos `
a chaque instant. Ce cas trivial ´
etant ´
ecart´ e, on voit qu’il ne peut y avoir
mouvement que s’il y a des singularit´ es (au moins en 1 point du plan complexe).
Celles-ci jouant un rˆ ole essentiel, ainsi qu’on vient de le signaler, dans la
recherche de f (z), il est naturel d’´ etudier d’abord les champs induits par les divers