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5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
pour deux chemins repr´ esent´ es sur la figure (Fig. 5.6) est ´
egale `
a la valeur de
l’int´ egrale calcul´ ee sur un contour (c) entourant l’ˆ ılot (Δ ).
Fig. 5.6 Circulation sur un contour ferm´ e (C) autour d’un ˆ ılot contenant une singularit´ e (Δ )
C
ζ (z)dz =
C
(u − iv)(dx + idy) =
C
(udx + vdy) + i
C
udy − vdx
=
C
V · t ds + i
C
V · n ds =
C
dφ + i dφ = Γ + i D
Γ est la circulation du vecteur vitesse autour de l’obstacle (Δ ).
D est le d´ ebit passant `
a travers (C) sur une hauteur unit´ e.
Donc, si (D) est multiplement connexe, f (z) est multiforme et sa valeur augmente de Γ + iD chaque fois que l’on fait un tour complet autour de (Δ ).
Mais la fonction
Γ + iD
2 i π
Log(z − a)
o` u a d´ esigne l’affixe d’un point appartenant `
a (Δ ) , poss` ede la mˆ eme propri´ et´ e
que f (z). Il en r´ esulte que la fonction
f (z) −
Γ + iD
2 i π
Log(z − a)
est une fonction holomorphe dans (D).
Dans le cas d’un domaine multiplement connexe, on peut d´ efinir un domaine
( ¯
D) simplement connexe au moyen de coupures convenables du plan analytique,
coupures que l’on s’interdit de traverser dans une int´ egration sur un contour (C).
La fonction f (z) est holomorphe dans une domaine (D) muni de coupures
convenables.