5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
115
5.3.3 Propri´ et´ es des potentiels complexes
5.3.3.1 Holomorphie
La premi` ere question `
a r´ esoudre est de savoir si toute fonction f (z) d´ etermine un
´
ecoulement irrotationnel de fluide parfait. Du point de vue physique, il est n´ ecessaire
que la vitesse complexe ζ (z) soit une fonction analytique de z, uniforme dans le
domaine (D) de l’´ ecoulement. Cette condition est suffisante car les conditions de
Cauchy v´ erifi´ ees par la fonction ζ (z) = u − iv s’´ ecrivent :
∂ u
∂ x
= −
∂ v
∂ y
et
∂ u
∂ y
=
∂ v
∂ x
Ceci montre que l’´ ecoulement ainsi d´ efini est incompressible et irrotationnel. Regardons ce que cela entraˆ ıne pour la fonction f (z).
a - (D) est un domaine simplement connexe
Si le domaine (D) est simplement connexe, la fonction f (z) est elle-mˆ eme analytique et uniforme (holomorphe dans (D)) car l’int´ egrale
f (z) = f (z 0 ) +
z
z 0
ζ (z)dz
prise le long d’un contour arbitraire joignant le point d’affixe z 0 au point d’affixe z
est ind´ ependant de ce contour, ζ n’ayant aucune singularit´ e dans (D) (Fig. 5.5)
Fig. 5.5 Circulation sur un contour ferm´ e (C) dans un domaine connexe (D) sans singularit´ e
Th´ eor` eme de Cauchy :
C
ζ (z)dz = 0
b - (D) est un domaine multiplement connexe
Lorsque le domaine n’est pas simplement connexe la valeur de l’int´ egrale n’est
pas n´ ecessairement ind´ ependante du chemin suivi por joindre z o `
a z. La diff´ erence