114
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
est ´
egal `
a udy − vdx celui qui traverse l’arc C 1 C 2 est donc :
q v =
C 2
C 1
udy − vdx =
C 2
C 1
∂ ψ
∂ y
dy +
∂ ψ
∂ x
dx =
C 2
C 1
dψ = ψ 2 − ψ 1
Fig. 5.4 Calcul du d´ ebit volumique entre deux lignes de courant de valeurs ψ 1 et ψ 2
• c- longueur d’un ´
el´ ement de ligne de courant ou d’´ equipotentielle. Sur ψ = Cte
l’´ el´ ement d’arc a pour longueur δ s ψ=Cte =
δ x 2 + δ y 2 Cet ´
el´ ement est compris
entre les ´
equipotentielles φ et φ + dφ et on a :
δ φ =
∂ φ
∂ x
δ x +
∂ φ
∂ y
δ y
Comme par ailleurs sur la ligne de courant :
δ x
∂ φ
∂ x
=
δ y
∂ φ
∂ y
On en tire, en ´
eliminant δ x et δ y entre ces 3 ´
equations :
δ s ψ=Cte =
δ φ
∂ φ
∂ x
2
+
∂ φ
∂ y
2
=
δ φ
V
on a
V =
∂ φ
∂ x
2
+
∂ φ
∂ y
2
=
∂ ψ
∂ x
2
+
∂ ψ
∂ y
2
On constate que le long d’une ligne de courant (ψ = Cte) la vitesse V est inversement proportionnelle `
a l’´ ecartement des ´
equipotentielles.