5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
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Fig. 5.3 Vitesse r´ eelle V et vitesse complexe de l’´ ecoulement ζ d’un ´
ecoulement plan irrotationnel
f (z) = φ + i ψ =
� φ potentiel des vitesses
ψ fonction de courant
• φ = Cte est le r´ eseau d’´ equipotentielles : V⊥ ´
equipotentielles et dirig´ e dans le
sens des ´
equipotentielles croissantes.
• ψ = Cte est le r´ eseau de lignes de courant : ∇φ ⊥ lignes de courant et dirig´ e dans
le sens des lignes de courant croissants
∇φ ⊥∇ψ, les deux r´ eseaux sont orthogonaux.
Calcul de la vitesse complexe
f (z) = φ (x, y) + i ψ(x, y), dz = dx + i dy, ,d f = d(φ (x, y) + i ψ(x, y) =
∂ φ
∂ x
dx +
∂ φ
∂ y
dy + i
� ∂ ψ
∂ x
dx +
∂ ψ
∂ y
dy
�
Comme
∂ ψ
∂ x
= −
∂ φ
∂ y
et
∂ φ
∂ x
=
∂ ψ
∂ y
d f =
∂ φ
∂ x
dx + i
∂ φ
∂ y
dy + i
∂ ψ
∂ x
dx −
∂ ψ
∂ x
dy ⇒ d f =
� ∂ φ
∂ x
+ i
∂ ψ
∂ x
�
dz
d f =
∂ φ
∂ x
+ i
∂ ψ
∂ x
=
∂ φ
∂ x
− i
∂ φ
∂ y
=
∂ ψ
∂ y
− i
∂ φ
∂ y
=
∂ ψ
∂ y
+ i
∂ ψ
∂ x
Remarques :
• a- le potentiel des vitesses φ et la fonction de courant ψ sont des fonctions harmoniques :
V = ∇φ , ∇ · V = 0, ⇒ ∇ · ∇φ = 0, ∇
2
φ = 0
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u =
∂ φ
∂ x
=
∂ ψ
∂ y
v =
∂ φ
∂ y
= −
∂ ψ
∂ x
∂ 2 φ
∂ x∂ y
−
∂ 2 φ
∂ x∂ y
= 0 soit ∇
2
ψ = 0
• b- Le d´ ebit volumique entre deux lignes de courant de cotes φ 1 et ψ 2 est ´
egal `
a
ψ 2 − ψ 1 , il est donc constant. A travers un ´
el´ ement d’arc MN (Fig. 5.4), le d´ ebit