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5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
relations que l’on peut mettre sous la forme
V = −e 3 × ∇ψ
e 3 est le vecteur unitaire port´ e par l’axe normal au plan (x,y)
dψ = 0 ⇒ udy − vdx = 0 soit
u
dx
=
v
dy
qui est l’´ equation des lignes de courant ψ = Cte o` u ψ(x, y) est la fonction de
courant
Remarque : le vecteur grand ∇ψ est normal aux lignes de courant et dirig´ e dans
le sens des fonctions de courant croissantes.
• En effet soit dM un d´ eplacement ´
el´ ementaire sur une ligne de courant dψ =
∇ψ · dM = 0 et ∇ψ⊥dM.
• Soit maintenant dM⊥ `
a 2 lignes de courant voisines
∇ψ · dM = dψ
� dψ > 0 ⇒ ∇ψ meme sens que dM
dψ < 0 ⇒ ∇ψ sens oppose a dM
Cette remarque est aussi valable pour φ et les ´
equipotentielles.
En r´ esum´ e, il existe deux fonctions φ et ψ appel´ ees respectivement potentiel des
vitesses et fonction de courant telles que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u =
∂ φ
∂ x
=
∂ ψ
∂ y
v =
∂ φ
∂ y
= −
∂ ψ
∂ x
φ et ψ v´ erifient les relations de Cauchy donc la fonction f (z) = φ (x, y)+iψ(x, y) est
une fonction analytique (continue, d´ erivable et `
a d´ eriv´ ees continues et d´ erivables)
de la variable z = x + iy. La d´ eriv´ ee
ζ (z) =
d f
dz
=
∂ φ
∂ x
+ i
∂ ψ
∂ x
= u − i v
est la vitesse complexe de l’´ ecoulement (Fig. 5.3).
�V� = q, (V, Ox) = ω, ζ = q e
−iω
ζ est le vecteur conjugu´ e du vecteur vitesse. Donc toute fonction analytique f (z) =
φ (x, y) + iψ(x, y) dans un domaine D peut d´ ecrire cin´ ematiquement un ´
ecoulement
plan irrotationnel, stationnaire d’un fluide incompressible dans ce domaine `
a condition que ζ (z) soit uniforme dans D (il ne peut y avoir physiquement non uniformit´ e
de la vitesse). f (z) et ζ (z) donnent tous les renseignements permettant de d´ ecrire
cin´ ematiquement l’´ ecoulement.