5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits
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points A et B, il suffit que l’expression u(x, y)dx+ v(x, y)dy soit une diff´ erentielle
totale exacte ou ce qui revient au mˆ eme ∇ × V = 0.
Γ =
C
V ds =
C
u(x, y)dx + v(x, y)dy
Physiquement cela signifie qu’un ´
el´ ement de volume subit une translation et une
d´ eformation mais pas de rotation.
dV =
1
2
∇ × V × dM + D · dM
D est le tenseur des taux de d´ eformation et ω = 1/2∇ × V traduit la rotation en
bloc de l’´ el´ ement de volume.
• c - Fluide incompressible
Soit ∇ · V = 0 et ρ = ρ 0
• α Regroupons les hypoth` eses a et b
∂ u
∂ y
−
∂ v
∂ x
La quantit´ e udx + vdy est donc une diff´ erentielle exacte en x et y.
Soit φ la fonction telle que dφ = udx + vdy
u =
∂ φ
∂ x
, v =
∂ φ
∂ y
soit V = ∇φ
R´ esultat que l’on peut d´ eduire directement de ∇ × ∇· = 0.
φ est le potentiel des vitesses; le lieu des points tels que φ = Cte est une
´
equipotentielle
D’apr` es ce qui a ´
et´ e dit on a
Γ =
B
A
V · ds = φ B (x, y) − φ A (x, y)
En particulier, le long d’une courbe ferm´ ee, la circulation est nulle
• β Regroupons les hypoth` eses a et c :
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
= 0
induit que udy − vdx est la diff´ erentielle d’une fonction ψ telle que dψ = udy −
vdx. et
u =
∂ ψ
∂ y
, v = −
∂ ψ
∂ x