5.2 Th´ eor` emes de Bernouilli
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5.2.2.1 Equation du tourbillon
a - fluide visqueux newtonien en ´
ecoulement incompressible
ρ
∂ V
∂t
+
1
2
∇V
2
+ ∇ × V × V
= −∇p + f + μ∇
2
V
On applique `
a cette ´
equation l’op´ erateur
1
2 ∇× et on tient compte de ∇ × ∇ = 0
et en intervertissant l’ordre des d´ erivations :
5.2.2.2 Th´ eor` eme de Kelvin
Le flux du vecteur tourbillon, `
a travers une surface que l’on suit dans son mouvement (Fig. 5.1), est constant au cours du temps
Fig. 5.1 Th´ eor` eme de Kelvin sur la circulation sur un tube de courant le long d’un contour ferm´ e
compte tenu de la relation
d
dt
Σ
ω · n ds =
Σ
∂ ω
∂t
+ ∇ × (ω × V) + V∇ · ω
· n ds
de l’´ equation de la rotation et du fait que le champ de tourbillon est conservatif il
vient :
Σ
ω · n ds = Cte
Un autre ´
enonc´ e du th´ eor` eme de Kelvin :
La circulation du vecteur vitesse le long d’une courbe ferm´ ee que l’on suit dans
son mouvement se conserve au cours du temps
En effet :