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5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
soit
∂ ρV
∂t
Ω
+ [ρV (V · n)] Σ = [f] Ω + [T(P, n)] Σ
Ce th´ eor` eme conduit `
a une autre forme de l’´ equation locale du mouvement d’un
milieu continu. Soit en effet l’´ egalit´ e des r´ esultantes :
Ω
∂ ρV
∂t
dv +
Σ
ρV (V · n) ds =
Ω
f dv +
Σ
T ds
En projection sur e i (base associ´ ee `
a un rep` ere rectiligne).
Ω
∂ ρV i
∂t
dv +
Σ
ρV i (V · n) ds =
Ω
f i dv +
Σ
σ i j n j ds
Ω
∂ ρV i
∂t
dv +
Ω
∇ · (ρV i V) dv =
Ω
f i dv +
Ω
∂ σ i j
∂ x j
dv
Soit, l’´ equation locale :
∂ ρV i
∂t
+
∂ ρV i V j
∂ x j
= f i +
∂ σ i j
∂ x j
5.2 Th´ eor` emes de Bernouilli
5.2.1 Premier th´ eor` eme de Bernoulli
5.2.2 Rotation et tourbillon
Nous avons d´ efini pr´ ec´ edemment le vecteur vitesse de rotation ω =
1
2 ∇ × V(M) qui
traduit la rotation locale du milieu continu consid´ er´ e ou de l’´ el´ ement de volume en
ce point.
En effet nous avons ´
ecrit `
a l’instant t pour 2 points infiniment voisins :
V(M
�
) = V(M) + M
�
M × ω(M) + D(M) · M
�
M
cette forme inclue la translation, la rotation et la d´ eformation de la particule fluide,
les trois mouvements ´
el´ ementaires fondamentaux.
A un instant t fix´ e on appelle surface de rotation toute surface qui, en chacun de
ses points, est tangente `
a ω et ligne de rotation toute ligne qui, en chacun de ses
points, est tangente `
a ω, et tube de rotation une surface de rotation engendr´ ee par
des lignes de rotation s’appuyant sur un contour ferm´ e.