Chapitre IV
Analyse des évènements extrêmes
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blocs est généralement arbitraire, et on perd généralement de l’information sur les événements
extrêmes qui par nature sont déjà peu observés. Par exemple plusieurs événements extrêmes
intéressants peuvent être mis dans un même bloc alors qu’un autre bloc ne contient pas
d’événement "extrême" ! En pratique, cela signifie qu’il faut beaucoup de données pour
pouvoir mettre en place la méthode des maxima par blocs (typiquement quelques décennies si
on fait des blocs annuels), ce qui n’est généralement pas le cas. Une alternative à la méthode
des maxima par blocs consiste à conserver toutes les observations qui dépassent un niveau
élevé puis à ajuster une loi appropriée à ces dépassements qui représente les événements
"extrêmes". Cette méthode est généralement appelée méthode des dépassements de seuil (ou
"Peak Over Threshold", POT) (Tioguim et al., 2018).
3 Loi GEV (Generalized Extreme Value) et méthode de Block Maxima (BM) :
3.1 Méthode des maxima par blocs :
Il s'agit d'une technique statistique utilisée pour la modélisation et la prévision d'événements
extrêmes, le principe de cette méthode est de découper une série chronologique en blocs de
temps égaux (par exemple 1 an) et détermine la valeur maximale de chaque bloc pour ajuster
une distribution de probabilité dans le but d’estimer les périodes de retour de ces évènements
extrêmes dans le futur.
3.2 Loi GEV (Generalized Extremes Values) :
La méthode BM est largement adaptée à l'application de la distribution de la valeur extrême
généralisée (GEV). La distribution GEV réunit les distributions de Gumbel, Fréchet et
Weibull en une seule famille afin de permettre une gamme continue de formes possibles. Un
modèle unique de distribution GEV à trois paramètres possède la fonction de distribution
cumulative suivante (Özari et al., 2019) :
í µí°¹(í µí±¥) = í µí±í µí±¥í µí± {− [1 + í µí¼ (
í µí±¥ − í µí¼
í µí¼
)]
−
1
í µí¼ } í µí¼ ≠ 0
(3)
í µí°¹(í µí±¥) = í µí±í µí±¥í µí± {− [í µí±í µí±¥í µí± (
í µí±¥ − í µí¼
í µí¼
)]} í µí¼ = 0
(4)
Où µ est la localisation, σ est l'échelle et ξ est la forme du paramètre.
La distribution GEV englobe trois distributions limites de valeur extrême, en fonction de la
valeur du paramètre de la forme :
Si ξ> 0, elle convient à la distribution de Fréchet.
Si ξ< 0, elle convient à la distribution de Weibull.
Si ξ = 0, elle convient à la distribution de Gumbel.
Dans ce chapitre, nous avons choisi deux méthodes de distribution de GEV (Gumbel et
Weibull) dans le but d'extraire les périodes de retours.
Après l’analyse des données avec le langage python via la bibliothèque pyextreme, les
résultats obtenus sont présentés sous forme de graphes et de tableaux.
Les valeurs extrêmes maximales sont extraites de séries temporelles en les divisant en blocs
de même durée (1an) et en localisant les valeurs maximales l'intérieur de chaque bloc, selon le
Analyse des évènements extrêmes
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blocs est généralement arbitraire, et on perd généralement de l’information sur les événements
extrêmes qui par nature sont déjà peu observés. Par exemple plusieurs événements extrêmes
intéressants peuvent être mis dans un même bloc alors qu’un autre bloc ne contient pas
d’événement "extrême" ! En pratique, cela signifie qu’il faut beaucoup de données pour
pouvoir mettre en place la méthode des maxima par blocs (typiquement quelques décennies si
on fait des blocs annuels), ce qui n’est généralement pas le cas. Une alternative à la méthode
des maxima par blocs consiste à conserver toutes les observations qui dépassent un niveau
élevé puis à ajuster une loi appropriée à ces dépassements qui représente les événements
"extrêmes". Cette méthode est généralement appelée méthode des dépassements de seuil (ou
"Peak Over Threshold", POT) (Tioguim et al., 2018).
3 Loi GEV (Generalized Extreme Value) et méthode de Block Maxima (BM) :
3.1 Méthode des maxima par blocs :
Il s'agit d'une technique statistique utilisée pour la modélisation et la prévision d'événements
extrêmes, le principe de cette méthode est de découper une série chronologique en blocs de
temps égaux (par exemple 1 an) et détermine la valeur maximale de chaque bloc pour ajuster
une distribution de probabilité dans le but d’estimer les périodes de retour de ces évènements
extrêmes dans le futur.
3.2 Loi GEV (Generalized Extremes Values) :
La méthode BM est largement adaptée à l'application de la distribution de la valeur extrême
généralisée (GEV). La distribution GEV réunit les distributions de Gumbel, Fréchet et
Weibull en une seule famille afin de permettre une gamme continue de formes possibles. Un
modèle unique de distribution GEV à trois paramètres possède la fonction de distribution
cumulative suivante (Özari et al., 2019) :
í µí°¹(í µí±¥) = í µí±í µí±¥í µí± {− [1 + í µí¼ (
í µí±¥ − í µí¼
í µí¼
)]
−
1
í µí¼ } í µí¼ ≠ 0
(3)
í µí°¹(í µí±¥) = í µí±í µí±¥í µí± {− [í µí±í µí±¥í µí± (
í µí±¥ − í µí¼
í µí¼
)]} í µí¼ = 0
(4)
Où µ est la localisation, σ est l'échelle et ξ est la forme du paramètre.
La distribution GEV englobe trois distributions limites de valeur extrême, en fonction de la
valeur du paramètre de la forme :
Si ξ> 0, elle convient à la distribution de Fréchet.
Si ξ< 0, elle convient à la distribution de Weibull.
Si ξ = 0, elle convient à la distribution de Gumbel.
Dans ce chapitre, nous avons choisi deux méthodes de distribution de GEV (Gumbel et
Weibull) dans le but d'extraire les périodes de retours.
Après l’analyse des données avec le langage python via la bibliothèque pyextreme, les
résultats obtenus sont présentés sous forme de graphes et de tableaux.
Les valeurs extrêmes maximales sont extraites de séries temporelles en les divisant en blocs
de même durée (1an) et en localisant les valeurs maximales l'intérieur de chaque bloc, selon le