Chapitre V
Modélisation de la dynamique côtière du littoral de la baie de Zemmouri
98
- A et νt sont les viscosités turbulentes horizontale et verticale ;
- Pa est la pression atmosphérique ;
- 𝜌 0 est la densité de référence de l'eau ;
- S est l'amplitude du débit dû aux sources ponctuelles ;
- (us, vs) est la vitesse à laquelle l'eau est rejetée dans l'eau ambiante.
On utilise une formule simplifiée de la relation gradient-contrainte pour décrire les termes liés
à la contrainte horizontale :
𝐹 𝑢 =
𝜕
𝜕𝑥
(2𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝐴(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
))
(12)
𝐹 𝑣 =
𝜕
𝜕𝑥
(𝐴 (
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)) +
𝜕
𝜕𝑦
(2𝐴
𝜕𝑣
𝜕𝑦
))
(13)
Avec : A est la viscosité horizontale.
Les conditions aux limites de surface et de fond pour u, v et w sont :
Az = η :
𝜕η
í µí¼•í µí+ 𝑢
𝜕η
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕η
𝜕𝑦
− 𝑤 = 0, (
𝜕𝑢
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) =
1
𝜌 0 𝑣 í µí(𝜏 𝑠𝑥 , 𝜏 𝑠𝑦 )
(14)
Az = -d :
𝑢
𝜕𝑑
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑑
𝜕𝑦
+ 𝑤 = 0, (
𝜕𝑢
𝜕𝑧
,
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) =
1
𝜌 0 𝑣 í µí(𝜏 𝑏𝑥 , 𝜏 𝑏𝑦 )
(15)
Où (𝜏 𝑠𝑥 , 𝜏 𝑠𝑦 ) et (𝜏 𝑏𝑥 , 𝜏 𝑏𝑦 ) sont les composantes x et y des contraintes de vent de surface et de
fond.
 Équations de conservation de l'action des vagues :
L'équation déterminante est l'équation d'équilibre de l'action des vagues, et peut être formulée
soit en coordonnées cartésiennes, soit en coordonnées sphériques.
 Coordonnées cartésiennes :
On peut exprimer l'équation de conservation de l'action des vagues en utilisant des
coordonnées cartésiennes horizontales comme suit :
𝜕𝑁
í µí¼•í µí+ ∇. (𝑣 𝑁) =
𝑆
𝜎
(16)
Où :
N (𝑥 , σ, θ, t) est la densité d'action,
t est le temps,
𝑥 = (x, y) est les coordonnées cartésiennes,
𝑣 = (𝐶 𝑥 , 𝐶 𝑦 ,𝐶 𝜎 ,𝐶 𝜃 ,) est la vitesse de propagation d'une onde de groupe dans l'espace à quatre
dimensions𝑥 , σ et θ et S est le terme source de l'équation du bilan énergétique.
∇est l'opérateur différentiel à quatre dimensions dans l'espace𝑥 , σ et θ.
Les quatre vitesses de propagation caractéristiques sont données par :
(𝑐 𝑥 , 𝑐 𝑦 ) =
𝑑𝑥
í µí±‘í µí= 𝑐 𝑔 + 𝑈 ⃗ ⃗
(17)