Exercices
81
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
point d’arrêt : U
a r
r
s
s
1
2
2 2
+
(
) = ± Γ . Mais comme Γ > 0, et que le terme de gauche
de l’équation précédente est positif alors U
a r
r
s
s
1
2
2 2
+
(
) = Γ . On résoud alors
l’équation du second ordre en r s : r
r
U a
s
s
2
2
2
0
−
+
=
Γ
pour obtenir la solution suivante : r
U
U
a
s
2
2
2
4
4
0
=
± (
) − =
Γ
Γ
. On a donc les coordonnées exactes du
point d’arrêt (le signe ‘-‘ de cette solution est exclu puisque le point se trouverait à l’intérieur du cylindre) :
θ
π
s 3 2 et
r
a
Ua
Ua
s
=
+
− ( )
Γ
Γ
4
1
1
4
2
Le cas θ
π
s 2 est exclu pour des raisons de stabilité de l’écoulement.
(3.1)Vitessedanslerepèrelagrangien
Dans un écoulement 1D, la vitesse en un point est donnée dans le système Eulérien par :
u x t
= + . Déterminer le déplacement d’une particule fluide qui a sa position initiale x 0
à l’instant initial t 0 dans le système lagrangien.
(3.2)Vitesse,vorticitéetvecteurtourbillon
Le champ de vitesse dans un milieu fluide est donné par :
U
x y i
x y j
z y
t k
=
+
+
+
(
)
3
2
2
3
2
Déterminer les amplitudes et directions de (i) la vitesse de translation, (ii) la vitesse rotationnelle et (iii) le vecteur tourbillon d’un élément fluide au point de coordonnées (1,2,1)
et au temps t = 3 s.
(3.3)Écoulementdejet
Le champ de vitesse pour un écoulement bidimensionnel et stationnaire est donné par :
U
U
l
x i y j
u i u j
x
y
=
−
(
) =
+
0
où U 0 et l sont des constantes.
1.Où dans l’écoulement la vitesse est-elle égale à U 0 ? Représenter le champ de vitesse
dans le 1 er quadrant ( x
y
0
0
,
) en dessinant les flèches représentant la vitesse du
fluide à des localisations bien précises.
2.Déterminer les lignes de courant pour cet écoulement.
3.Déterminer le champ d’accélération pour cet écoulement.
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9782100549337-Livre.indb 81
31/07/11 12:59
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point d’arrêt : U
a r
r
s
s
1
2
2 2
+
(
) = ± Γ . Mais comme Γ > 0, et que le terme de gauche
de l’équation précédente est positif alors U
a r
r
s
s
1
2
2 2
+
(
) = Γ . On résoud alors
l’équation du second ordre en r s : r
r
U a
s
s
2
2
2
0
−
+
=
Γ
pour obtenir la solution suivante : r
U
U
a
s
2
2
2
4
4
0
=
± (
) − =
Γ
Γ
. On a donc les coordonnées exactes du
point d’arrêt (le signe ‘-‘ de cette solution est exclu puisque le point se trouverait à l’intérieur du cylindre) :
θ
π
s 3 2 et
r
a
Ua
Ua
s
=
+
− ( )
Γ
Γ
4
1
1
4
2
Le cas θ
π
s 2 est exclu pour des raisons de stabilité de l’écoulement.
(3.1)Vitessedanslerepèrelagrangien
Dans un écoulement 1D, la vitesse en un point est donnée dans le système Eulérien par :
u x t
= + . Déterminer le déplacement d’une particule fluide qui a sa position initiale x 0
à l’instant initial t 0 dans le système lagrangien.
(3.2)Vitesse,vorticitéetvecteurtourbillon
Le champ de vitesse dans un milieu fluide est donné par :
U
x y i
x y j
z y
t k
=
+
+
+
(
)
3
2
2
3
2
Déterminer les amplitudes et directions de (i) la vitesse de translation, (ii) la vitesse rotationnelle et (iii) le vecteur tourbillon d’un élément fluide au point de coordonnées (1,2,1)
et au temps t = 3 s.
(3.3)Écoulementdejet
Le champ de vitesse pour un écoulement bidimensionnel et stationnaire est donné par :
U
U
l
x i y j
u i u j
x
y
=
−
(
) =
+
0
où U 0 et l sont des constantes.
1.Où dans l’écoulement la vitesse est-elle égale à U 0 ? Représenter le champ de vitesse
dans le 1 er quadrant ( x
y
0
0
,
) en dessinant les flèches représentant la vitesse du
fluide à des localisations bien précises.
2.Déterminer les lignes de courant pour cet écoulement.
3.Déterminer le champ d’accélération pour cet écoulement.
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