3.8•Exemplesd’écoulementscomplexes
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
ici qu’on est dans le cas d’un fluide parfait, on applique alors l’équation de Bernoulli sans
perte de charge et sur une même altitude fixée, par exemple au centre) :
P
U
P
V
S
s
0
2
2
1
2
1
2
+
=
+
r
r q
Et donc : P
P
U
S =
+
-
(
)
sin
0
2
2
1
2
1 4
r
q .
3.8.6Écoulementautourd’uncylindreaveccirculation
Comme précédemment, on ajoute les potentiels complexes de l’écoulement autour d’un
cylindre et de l’écoulement avec circulation (tourbillon) autour de ce cylindre où les
centres des deux écoulements se situent à l’origine du système de coordonnées. On
obtient donc le potentiel complexe suivant :
f z
U z
a
z
i
z C i
( ) =
+
+
+
2
2
Γ
ln
La constante C est incluse dans cette fonction afin de choisir la fonction de courant
telle que 0 lorsque r a
c’est-à-dire que la surface du cylindre est choisie telle que
0 dans la relation finale. Pour déterminer la constante C, on insère z re i
dans
l’équation précédente :
f z
U re
a
r
e
i
re
C i
i
i
i
( ) =
+
+
+
−
θ
θ
θ
π
2
2
Γ ln
Sachant que e
i
i
=
+
cos
sin , on obtient alors les expressions de et suivantes :
ϕ
θ
π
θ
ψ
θ
π
=
+
−
=
−
+
U r
a
r
U r
a
r
2
2
2
2
cos
sin
ln
Γ
Γ r r C
+
Pour obtenir 0 pour r = a et pour toutes les valeurs de , on doit choisir C tel
que : C
a
= −
Γ
2
ln . Par conséquent :
f z
U z
a
z
i
z
a
( ) =
+
+
2
2
Γ
ln et ψ
θ
π
=
−
+
U r
a
r
r
a
2
2
sin
ln
Γ
L’écoulement et les lignes équipotentielles correspondants sont représentés sur la
figure 3.18. Les composantes de vitesse peuvent donc être déduites à partir de ces champs :
u
u
r
r
U
a
r
u
r
r
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
= −
∂
ϕ
ψ
θ
θ
ϕ
θ
θ
1
1
1
2
2
cos
ψ
ψ
θ
π
∂
= −
+
−
r
U
a
r
r
1
2
2
2
sin
Γ
9782100549337-Livre.indb 79
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
ici qu’on est dans le cas d’un fluide parfait, on applique alors l’équation de Bernoulli sans
perte de charge et sur une même altitude fixée, par exemple au centre) :
P
U
P
V
S
s
0
2
2
1
2
1
2
+
=
+
r
r q
Et donc : P
P
U
S =
+
-
(
)
sin
0
2
2
1
2
1 4
r
q .
3.8.6Écoulementautourd’uncylindreaveccirculation
Comme précédemment, on ajoute les potentiels complexes de l’écoulement autour d’un
cylindre et de l’écoulement avec circulation (tourbillon) autour de ce cylindre où les
centres des deux écoulements se situent à l’origine du système de coordonnées. On
obtient donc le potentiel complexe suivant :
f z
U z
a
z
i
z C i
( ) =
+
+
+
2
2
Γ
ln
La constante C est incluse dans cette fonction afin de choisir la fonction de courant
telle que 0 lorsque r a
c’est-à-dire que la surface du cylindre est choisie telle que
0 dans la relation finale. Pour déterminer la constante C, on insère z re i
dans
l’équation précédente :
f z
U re
a
r
e
i
re
C i
i
i
i
( ) =
+
+
+
−
θ
θ
θ
π
2
2
Γ ln
Sachant que e
i
i
=
+
cos
sin , on obtient alors les expressions de et suivantes :
ϕ
θ
π
θ
ψ
θ
π
=
+
−
=
−
+
U r
a
r
U r
a
r
2
2
2
2
cos
sin
ln
Γ
Γ r r C
+
Pour obtenir 0 pour r = a et pour toutes les valeurs de , on doit choisir C tel
que : C
a
= −
Γ
2
ln . Par conséquent :
f z
U z
a
z
i
z
a
( ) =
+
+
2
2
Γ
ln et ψ
θ
π
=
−
+
U r
a
r
r
a
2
2
sin
ln
Γ
L’écoulement et les lignes équipotentielles correspondants sont représentés sur la
figure 3.18. Les composantes de vitesse peuvent donc être déduites à partir de ces champs :
u
u
r
r
U
a
r
u
r
r
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
= −
∂
ϕ
ψ
θ
θ
ϕ
θ
θ
1
1
1
2
2
cos
ψ
ψ
θ
π
∂
= −
+
−
r
U
a
r
r
1
2
2
2
sin
Γ
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