3.8•Exemplesd’écoulementscomplexes
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Or lim
/
/
a
a z
a z
→
+
(
) = −
[
]
0
1 1
1
au 1 er ordre et donc :
f z
Q
a z
Q
a
z
aQ
z
v
v
v
( ) =
-
(
)
[
] @
-
( ) = -
2
1
2
2
1
2
2
2
p
p
p
ln
/
En posant 2 aQ
p
v = appelé le moment dipolaire, on obtient finalement :
f z
p
z
( ) = −
1
2
Avec z re i
, on obtient :
f z
p
re
p
r
i
i
i
( ) = −
= −
−
(
) = +
1
2
1
2
π
π
θ
θ
ϕ ψ
θ
cos
sin
ϕ
π
θ
ψ
π
θ
= −
=
1
2
1
2
p
r
p
r
cos
sin
Les lignes de courant sont telles que ψ
π
θ
1
2
p
r
C te
sin
D’où en coordonnées cartésiennes y C x
y
=
+
(
)
2
2 où C est une constante. Et finalement, l’équation de la ligne de courant se réduit à : x
y K
K
2
2
2
2
2
+ −
(
) = (
)
/
/
,
l’équation d’un cercle de centre (0, K/2) et de rayon (K/2) où K est une constante (voir
Figure 3.16b).
3.8.5Écoulementautourd’uncylindre
On a vu dans l’exemple précédent que lorsque la distance entre la source et le puits tend
vers zéro alors la forme des iso-lignes de courant tend vers une forme circulaire et qui a
été décrit par un doublet (source-puits). On s’attend alors à ce qu’un écoulement uniforme
dans la direction (+ x) combiné à celui d’un doublet puisse être utilisé afin de représenter
un écoulement à travers un cylindre circulaire.
Cette simple superposition de ces fonctions complexes est permise car les fonctions
potentielles et les fonctions de courant vérifient l’équation de Laplace et le laplacien est
linéaire. On peut donc écrire en se référant aux résultats précédents :
ϕ
π
θ
θ
ψ
π
θ
=
−
=
+
(
)
=
+
=
−
U x
p
r
U r
C
r
U y
p
r
U r
C
1
2
1
2
cos
cos
sin
r r
(
)
sinθ
où C
p
= − / ( )
2 et p est le moment dipolaire défini précédemment. La paroi du cylindre
(de rayon a) peut être représentée par la ligne de courant 0, ce qui entraîne C Ua
2 .
9782100549337-Livre.indb 77
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Or lim
/
/
a
a z
a z
→
+
(
) = −
[
]
0
1 1
1
au 1 er ordre et donc :
f z
Q
a z
Q
a
z
aQ
z
v
v
v
( ) =
-
(
)
[
] @
-
( ) = -
2
1
2
2
1
2
2
2
p
p
p
ln
/
En posant 2 aQ
p
v = appelé le moment dipolaire, on obtient finalement :
f z
p
z
( ) = −
1
2
Avec z re i
, on obtient :
f z
p
re
p
r
i
i
i
( ) = −
= −
−
(
) = +
1
2
1
2
π
π
θ
θ
ϕ ψ
θ
cos
sin
ϕ
π
θ
ψ
π
θ
= −
=
1
2
1
2
p
r
p
r
cos
sin
Les lignes de courant sont telles que ψ
π
θ
1
2
p
r
C te
sin
D’où en coordonnées cartésiennes y C x
y
=
+
(
)
2
2 où C est une constante. Et finalement, l’équation de la ligne de courant se réduit à : x
y K
K
2
2
2
2
2
+ −
(
) = (
)
/
/
,
l’équation d’un cercle de centre (0, K/2) et de rayon (K/2) où K est une constante (voir
Figure 3.16b).
3.8.5Écoulementautourd’uncylindre
On a vu dans l’exemple précédent que lorsque la distance entre la source et le puits tend
vers zéro alors la forme des iso-lignes de courant tend vers une forme circulaire et qui a
été décrit par un doublet (source-puits). On s’attend alors à ce qu’un écoulement uniforme
dans la direction (+ x) combiné à celui d’un doublet puisse être utilisé afin de représenter
un écoulement à travers un cylindre circulaire.
Cette simple superposition de ces fonctions complexes est permise car les fonctions
potentielles et les fonctions de courant vérifient l’équation de Laplace et le laplacien est
linéaire. On peut donc écrire en se référant aux résultats précédents :
ϕ
π
θ
θ
ψ
π
θ
=
−
=
+
(
)
=
+
=
−
U x
p
r
U r
C
r
U y
p
r
U r
C
1
2
1
2
cos
cos
sin
r r
(
)
sinθ
où C
p
= − / ( )
2 et p est le moment dipolaire défini précédemment. La paroi du cylindre
(de rayon a) peut être représentée par la ligne de courant 0, ce qui entraîne C Ua
2 .
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