Chapitre3•Cinématiquedesfluides
76
3.8.4Associationd’unesourceetd’unpuits:
doubletetdipôle
On a vu précédemment qu’on peut superposer plusieurs écoulements élémentaires pour
former des écoulements plus compliqués. Considérons un puits de débit -Q v située en
x = a auquel on superpose une source de débit Q v , située en x = -a. Le potentiel complexe
résultant peut s’écrire :
f z
Q
z a
Q
z a
v
v
( ) = −
−
(
) +
+
(
)
2
2


ln
ln
puits
source
On pose z
z a r e i
1
1
1
= + =
 et z
z a r e i
2
2
2
= − =
 . On peut donc écrire :
f z
Q
r
r
i
v
( ) =
+
−
(
)






2
1
2
1
2
π
θ θ
ln
On peut alors en déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses :
ϕ
π
ψ
π
θ θ
=
=
−
(
)







Q
r
r
Q
v
v
2
2
1
2
1
2
ln
Les lignes de courant sont telles que θ θ
α
1
2
−
(
) =
=
C te
, ce sont alors des cercles
passant par la source et le puits (voir Figure 3.16).
source
puits
2a
a
q
x
i y
i y
x
y
r
a
b
q
q
Figure3.16–Lignesdecourant(a)pourunesourceetunpuitset(b)undipôle.
Si on fait tendre la distance entre la source et le puits vers zéro alors on peut écrire :
f z
Q
z a
z a
Q
a z
a z
v
v
( ) =
−
(
)
+
(
)
=
−
(
)
+
(
)
2
2
1
1


ln
ln
/
/
9782100549337-Livre.indb 76
31/07/11 12:59