3.8•Exemplesd’écoulementscomplexes
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les lignes de courant sont telles que r cste
=
∀
,   , ce sont des cercles concentriques
centrés sur l’origine. Les équipotentielles sont telles que  =
∀
cste
r
,    , ce sont des droites
passant par l’origine (voir Figure 3.15).
Le champ de vitesse correspondant s’obtient alors :
u
u
r
r
u
r
r
C
r
r
 =
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
∂
∂
= −
∂
∂
=


 



ϕ
ψ
θ
ϕ
θ
ψ
θ
1
0
1
 u
C
r
e


La vitesse est donc orthoradiale et inversement proportionnelle à la distance à l’origine.
Si C  0 alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens trigonométrique et si C  0 alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens horaire.
SignificationdelaconstanteC
Si on considère la circulation autour de l’origine, on a : Γ =
⋅
∫ u l
l
d où dl
correspond à un parcours sur une ligne de courant quelconque, donc ici sur le cercle de
rayon r. Avec u
C r e
= ( )  et d
d
l r e
   , on obtient finalement :
Γ =
=
∫
0
2
2
π
θ
π
C
r
r
C
d
Et par conséquent : f z
i
z
( ) = − (
)
Γ 2 ln ,  est la circulation du tourbillon libre. Si
Γ > 0 alors le tourbillon tourne dans le sens trigonométrique et si Γ < 0 alors il
tourne dans le sens horaire.
i y
> 0
< 0
x
u r r
( = )
2
i y
x
u r r
( = )
1
y(x,y) = C te
f(x,y) = C te
q
q
f(x,y) = C te
y(x,y) = C te
u
Figure3.15–Lignesdecourantetéquipotentielles
pourunécoulementdetypevortex.
9782100549337-Livre.indb 75
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