Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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On peut alors déterminer le champ de vitesse à partir des expressions du potentiel ou
du champ de courant :
u
u
r
r
u
r
r
r
 =
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= −
∂
∂


 



ϕ
ψ
θ
ϕ
θ
ψ
θ
1
1
⇒
=
=





u
C
r
u
r

0
 u
C
r
e r

où e r
 est le vecteur unitaire suivant l’axe radial. La vitesse est donc radiale et inversement
proportionnelle à la distance à l’origine.
Si C > 0 alors l’écoulement est dirigé vers l’extérieur (écoulement divergent) ; la source
se trouve à l’origine. Si C < 0 alors l’écoulement est dirigé vers l’origine (écoulement
convergent) ; le puits est à l’origine.
SignificationdelaconstanteC
On calcule le débit-volume de cet écoulement radial (source ou puits) :
Q
u n S
v
S
=
⋅
∫∫
d
où S est une surface fermée entourant l’origine, u
C r e r
= ( ) et n e r
 . Il s’agit d’un
débit-volume linéique dans la direction perpendiculaire au plan xy. L’écoulement
se faisant sur un plan, on intègre sur un cercle de rayon r quelconque, centré sur
l’origine, on obtient alors :
Q
C
r
r
C
v =
=
∫
0
2
2
π
θ
π
d
 C
Q v
 2
 f z
Q
z
v
( ) = 2
ln
Q v  0 correspond au débit de la source et Q v  0 au débit du puits.
3.8.3Vortexoutourbillonlibre
On considère l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses :
f z
i C z
( ) = −    ln
z x iy re i
= + =  et C est une constante réelle. Donc :
f z
i C
re
C
iC r
i
( ) = −
( ) =
−
   ln
ln


On peut alors déterminer le champ de vitesse à partir des expressions du potentiel des
vitesses ou du champ de courant :
ϕ θ
θ
ψ θ
r
C
r
C r
, 
, 
 ln
(
) =
(
) = −



 
9782100549337-Livre.indb 74
31/07/11 12:58