Chapitre3•Cinématiquedesfluides
72
Propriétés :
On a vu que pour qu’un écoulement puisse être décrit au moyen d’une fonction de courant et d’un potentiel des vitesses , il faut que ces deux fonctions vérifient l’équation
de Laplace (Δ = 0 et Δ = 0).
Soient deux écoulements tels que :
D
D
D
D
y
f
y
f
1
1
2
2
0
0
0
0
=
=
=
=
Ï
Ì
Ô
Ó Ô
et
et
f z
i
f z
i
1
1
1
2
2
2
( ) = +
( ) =
+
ϕ
ψ
ϕ
ψ
Comme l’opérateur laplacien est linéaire, ceci implique que :
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
λ ψ
λ ψ
λ ψ
λ ψ
λ ϕ
λ ϕ
λ ϕ
λ ϕ
1 1
2 2
1
1
2
2
1 1
2 2
1
1
2
+
(
) =
+
+
(
) =
+
2 2
On pose :
ψ λ ψ
λ ψ
ϕ λ ϕ
λ ϕ
=
+
=
+
1 1
2 2
1 1
2 2
Δ
Δ
ψ
ϕ
=
=
0
0
Et donc : f z
i
f z
f z
( ) = +
=
( ) +
( )
ϕ
ψ λ
λ
1 1
2 2
, f z
( ) décrit l’écoulement résultant de la
superposition des deux écoulements f 1 et f 2 . Par conséquent, on peut donc superposer
plusieurs écoulements élémentaires pour créer des écoulements plus complexes et ceci
par une simple addition des potentiels complexes correspondants.
3.8 exemPles d’écoulemenTs comPlexes
3.8.1Écoulementuniforme
On considère l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe f z
U z
( ) =
.
On a alors ϕ
ψ
x y i
x y
U x iy
U x i U y
,
,
(
) +
(
) =
+
(
) =
+
et donc :
ψ
ϕ
x y
U y
x y
U x
,
,
(
) =
(
) =
Les lignes de courant sont telles que : x y
U y C te
,
(
) =
=
soit y C
x
te
=
∀
, . Les lignes
de courant sont donc des droites horizontales (voir Figure 3.13).
Les équipotentielles sont telles que : x y
U x C te
,
(
) =
=
soit x C
y
te
=
∀
, . Les équipotentielles sont donc des droites verticales (voir Figure 3.13). Le champ de vitesses est
défini par :
U
u
x
y
U
u
y
x
U e
x
y
x
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
∂
∂
= −
∂
∂
=
=
ϕ
ψ
ϕ
ψ 0
9782100549337-Livre.indb 72
31/07/11 12:58
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Propriétés :
On a vu que pour qu’un écoulement puisse être décrit au moyen d’une fonction de courant et d’un potentiel des vitesses , il faut que ces deux fonctions vérifient l’équation
de Laplace (Δ = 0 et Δ = 0).
Soient deux écoulements tels que :
D
D
D
D
y
f
y
f
1
1
2
2
0
0
0
0
=
=
=
=
Ï
Ì
Ô
Ó Ô
et
et
f z
i
f z
i
1
1
1
2
2
2
( ) = +
( ) =
+
ϕ
ψ
ϕ
ψ
Comme l’opérateur laplacien est linéaire, ceci implique que :
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
λ ψ
λ ψ
λ ψ
λ ψ
λ ϕ
λ ϕ
λ ϕ
λ ϕ
1 1
2 2
1
1
2
2
1 1
2 2
1
1
2
+
(
) =
+
+
(
) =
+
2 2
On pose :
ψ λ ψ
λ ψ
ϕ λ ϕ
λ ϕ
=
+
=
+
1 1
2 2
1 1
2 2
Δ
Δ
ψ
ϕ
=
=
0
0
Et donc : f z
i
f z
f z
( ) = +
=
( ) +
( )
ϕ
ψ λ
λ
1 1
2 2
, f z
( ) décrit l’écoulement résultant de la
superposition des deux écoulements f 1 et f 2 . Par conséquent, on peut donc superposer
plusieurs écoulements élémentaires pour créer des écoulements plus complexes et ceci
par une simple addition des potentiels complexes correspondants.
3.8 exemPles d’écoulemenTs comPlexes
3.8.1Écoulementuniforme
On considère l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe f z
U z
( ) =
.
On a alors ϕ
ψ
x y i
x y
U x iy
U x i U y
,
,
(
) +
(
) =
+
(
) =
+
et donc :
ψ
ϕ
x y
U y
x y
U x
,
,
(
) =
(
) =
Les lignes de courant sont telles que : x y
U y C te
,
(
) =
=
soit y C
x
te
=
∀
, . Les lignes
de courant sont donc des droites horizontales (voir Figure 3.13).
Les équipotentielles sont telles que : x y
U x C te
,
(
) =
=
soit x C
y
te
=
∀
, . Les équipotentielles sont donc des droites verticales (voir Figure 3.13). Le champ de vitesses est
défini par :
U
u
x
y
U
u
y
x
U e
x
y
x
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
∂
∂
= −
∂
∂
=
=
ϕ
ψ
ϕ
ψ 0
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