3.7•Représentationd’écoulementspardesfonctionscomplexes
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Par conséquent : d
d
s
U
cte
ψ
ϕ


, la distance entre deux équipotentielles est inversement proportionnelle à la vitesse de l’écoulement (voir Figure 3.12).
y
x
ds
dx
dy
f(x,y)
y(x,y)
f(x,y)+df
Figure3.12–Représentationdel’arcdsdansleplan(x,y).
3.7 rePrésenTaTion d’écoulemenTs
Par des foncTions comPlexes
Un grand nombre d’écoulements plans classiques peuvent être représentés par des fonctions complexes. Soit f z
x y i
x y
( ) = ( ) +
(
)
ϕ
ψ
,
 
, où z x i y
= +   est la variable complexe
associée à la fonction potentiel complexe f(z) ( et  représentent respectivement les
fonctions potentielle et de courant). Pour que cette fonction f(z) soit analytique, il faut que
sa dérivée soit définie partout, c’est-à-dire que lim
Δ
Δ Δ
z
f z
→
(
)
0
tend vers une même valeur
quelle que soit la façon dont Δz → 0 (Δ
Δ
x
y
→
=
0
0
,  
ou Δ
Δ
x
y
=
→
0
0
, 
) :
lim
lim
 
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
z
x
y
x
f
z
i
x i y
x
→
→
=
=
+
+
→
0
0
0
0
ϕ
ψ
ϕ
lim
+ +
(
)
=
∂
∂
+
∂
∂
(
) =
∂
∂
=
   
 
   
lim
i x
x
i x
f
x
y
Δ
Δ
Δ
ψ
ϕ
ψ
→ →
=
=
−
+




+
+
→
0
0
0
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
x
i y
y
i
x i y
y
ϕ
ψ
ϕ
ψ
 
 
 
  
lim
 

= −
∂
∂
+
∂
∂





 = −
∂
∂
=
 
 
  
     
i y
y
i
f
y
f
ϕ
ψ
d
d dz
Donc :
∂
∂
+
∂
∂
= −
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
ψ
ϕ
ψ
x
i x
i y
y
   
 
     
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= −
∂
∂
=







ϕ
ψ
ϕ
ψ
x
y
u
y
x
u
x
y
Ce système d’équations constitue les relations de Cauchy-Riemann qui vérifient bien
les relations trouvées précédemment.
Conclusion : Pour que f z
( ) soit analytique, il faut que  et  vérifient les relations de
Cauchy-Riemann. La fonction f z
( ) est appelée potentiel complexe des vitesses.
9782100549337-Livre.indb 71
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