Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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∇ ∧ = =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ =
∧
= ∂ ∂
= −∂ ∂
=
=
−
 
 
u
x
y
z
u
y
u
x
u
x
y
z
0
0
0
0
0


∂ ∂
∂ −∂
∂ =
2
2
2
2
0


x
y
 
⇒
=
Δ 0,  vérifie aussi l’équation de Laplace.
Les équipotentielles s’obtiennent en prenant :   C te ou d  0 (voir Figure 3.11).
Par conséquent :
d
d
d
d
d



=
∂
∂
+
∂
∂
=
+
=
x
x
y
y u x u y
x
y
0
Donc :
d
d
y
x
u
u
x
y
= −
(3.26)
y
u
f(x,y) = C te y(x,y) = C te
y
u x
u
M
–u x
x
u y
pente d /d
y x
Figure3.11–Représentation
qualitativedelalignedecourant
etdel’équipotentielle
dansleplan(x,y).
Élémentd’arclelongd’unelignedecourant
On souhaite calculer l’arc ds sur la ligne de courant ( x y
C te
,
(
) =
).
On a : d
d
d
s
x
y
cte
 =
=
+
2
2 .
Or :
d
d
d
d
d



=
∂
∂
+
∂
∂
=
+
x
x
y
y u x u y
x
y
De plus, le long de la ligne on a  x y
C te
,
(
) =
, soit : d d
y x u u
y
x

. Donc :
d
d
d
d
d
 =
+
=
+
=
+
u x u
u
u
x
u
u
u
x
u
u
u
y
x
y
y
x
x
y
x
x
y
y
 
 
2
2
2
2
(3.27)
D'où
d
d
d
d
y
u
u
u
x
u
u
u
y
x
y
x
x
y
=
+
=
+







2
2
2
2


 d
d
d
s
u
u
u
u
u
u
cte
x
y
x
y
x
y
ψ
ϕ
ϕ
=
=
+
+
(
)
=
+
2
2
2
2 2
2
2
2
9782100549337-Livre.indb 70
31/07/11 12:58