3.6•Écoulementirrotationnel–Potentieldesvitesses
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les lignes de courant sont telles que d  0 (voir Figure 3.10) Donc :
d
d
d
d
d



=
∂
∂
+
∂
∂
= −
+
=
x
x
y
y
u x u y
y
x
0
(3.23)
Soit :
d
d
pente de la courbe 
pente
y
x
u
u
y f x
y
x


( )
   du vecteur 
vitesse u
(3.24)
On retrouve bien la relation (3.9).
y
u y
u x
u
ligne de courant
M
x
Figure3.10–Représentationqualitativedelalignedecourant
dansleplan(x,y).
3.6 écoulemenT irroTaTionnel – PoTenTiel
des viTesses
On rappelle que pour un écoulement irrotationnel : Ω
= ∧ =
∇  u 0. Or d’un point de vue
mathématique ∇ ∇
∧ ( ) = ∀
 
, 


0
.
On peut donc poser : u
= ∇,  est appelé potentiel des vitesses. Dans le repère cartésien et en considérant un écoulement plan, on peut donc écrire que :
u
x
u
y
x
y
=
∂
∂
=
∂
∂









(3.25)
Si de plus le fluide est incompressible :
∂
∂
+
∂
∂
=
u
x
u
y
x
y
0 
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
2
0


x
y
⇒
=
Δ 0
 vérifie l’équation de Laplace. De plus, la propriété de l’écoulement irrotationnel
pour un écoulement plan entraîne :
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