Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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u
A
x
y
z
A
A
A
A
y
A
z
u
A
x
y
z
z
y
x
x
= ∇ ∧ =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∧
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
 
 
∂ ∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
z
A
x
u
A
x
A
y
u
z
y
y
x
z
Si on considère un écoulement plan (  à l’axe Oz)  u z  0, ∂ ∂ =
z 0.
D’où : u
A y
x
z
= ∂ ∂ et u
A x
y
z
= −∂ ∂ . On pose alors : A x y
x y
z
, 
, 
(
) = (
)

, la fonction
y est appelée fonction de courant. Par conséquent :
u
y
u
x
x
y
=
∂
∂
= −
∂
∂









(3.22)
est le champ de vitesse en coordonnées cartésiennes et en coordonnées cylindriques, ce
champ des vitesses s’écrit :
 
u
r
u
r
r =
∂
∂
= −
∂
∂


 



1 ψ
θ
ψ
θ
.
3.5.2Propriétés
Comme :
∇ ⋅ =
∂
∂
+
∂
∂
=
u
u
x
u
y
x
y
0 et u
y
x =
∂
∂
 , u
x
y = −
∂
∂

Alors :
∂
∂ ∂
=
∂
∂ ∂
2
2


x y
y x
Cette relation constitue le théorème de Schwartz. Et donc d est une différentielle
totale exacte :
d
d
d



=
∂
∂
+
∂
∂
x
x
y
y
Par conséquent :
A
B
B
A
∫ = −
d 
 , quel que soit le chemin suivi entre A et B.
9782100549337-Livre.indb 68
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