3.5•Fonctiondecourant–Écoulementincompressible
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Et en coordonnées cylindriques (avec u u u u
r
z
 ,  , 

(
)), on a :
Ω
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂ ( )
∂
−
∂
∂

 
1
1
r
u
u
z
u
z
u
r
r
ru
r
u
z
r
z
r




 
 
.
Par conséquent, l’écoulement est irrotationnel si ∇ ∧ = =
u Ω 0. Les équations des
lignes d’isovorticité sont définies par :
Ω
∧
=
ds 0 
d
Ω
d
Ω
d
Ω
x
y
z
x
y
z


(3.21)
Dans le cas d’une rotation pure dans le plan (xy), on a : ∂ ∂ = −∂ ∂
u x
u y
y
x


 xy  0.
Les composantes  k et le tenseur de taux de rotation R ij sont liés par  :
ω
δ
k
ijk
ij
R
= −   où  ijk est le tenseur fondamental alterné vérifiant les relations
suivantes :
 ijk
i j k
= +1       , ,  
si
sont en permutation directe
  ijk
i j k
= −1       , ,  
si
sont en permutation inverse e
dans tous les autres cas
 ijk =





0   


ll
l
l
u x
u
= ∂ ∂ = ∇ = ( )
.
tr
3.5 foncTion de couranT – écoulemenT
incomPressible
3.5.1Définition
On vient de voir que pour un écoulement incompressible  : ∇ =
.u 0. Si on pose
u
A
= ∇ ∧
 
,   A
alors  
 
 
∇ ⋅ ∇ ∧
(
) =
A
0, A
est appelé potentiel vecteur. En coordonnées cartésiennes :
9782100549337-Livre.indb 67
31/07/11 12:58