Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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



















ij
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
=




 
 



 
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
x
x
y
x
z
1
2
1
2
 
  ( (
)
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂






1
2
1
2
1
u
x
u
y
u
y
u
z
u
y
y
x
y
y
z
2 2
1
2
∂
∂
+
∂
∂
(
)
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂








u
x
u
z
u
y
u
z
u
z
z
x
z
y
z
 











  
(3.16)
L’expression simplifiée du tenseur de vitesse de déformation s’écrit :

 ij
i
j
j
i
u
x
u
x
=
∂
∂
+
∂
∂






1
2
(3.17)
3.4.4Tenseurderotation–Vecteurtourbillon
D’après la Figure 3.9, les vitesses angulaires de AB et AD autour de A’ sont : d d
 t et
d d
 t. La rotation autour de A par rapport à l’axe porté par z est :
ω
α
β
z
y
x
t
t
u
x
u
y
=
−
(
) =
∂
∂
−
∂
∂






1
2
1
2
d
d
d
d
Avec la méthodologie utilisée pour déterminer le tenseur des taux de déformation, on
peut alors par analogie définir le tenseur de taux de rotation  R ij (ou R) :
R
u
x
u
x
ij
i
j
j
i
=
∂
∂
−
∂
∂






1
2
(3.18)
On peut montrer que le tenseur du gradient de vitesse est la somme du tenseur du taux
de déformation et du tenseur de taux de rotation :
∇ = +
u
R

(3.19)
Le vecteur tourbillon est défini par :
Ω
=
= ∇ ∧
2
u
(3.20)
En coordonnées cartésiennes, le vecteur tourbillon s’écrit :
Ω
=
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
u
y
u
z
u
z
u
x
u
x
u
y
z
y
x
z
y
x
9782100549337-Livre.indb 66
31/07/11 12:58