Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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3.4.2Translationavecdéformationslinéaires
On considère la déformation d’un élément rectangulaire (voir la Figure 3.8), ce qui nous
permettra d’utiliser les coordonnées cartésiennes. Le déplacement du point B par rapport
au point A dans la direction x et par unité de temps s’écrit : ∂ ∂
(
)
u x x
x
 Δ et celui de D
par rapport à A :  
 
∂ ∂
(
)
u y y
x
Δ . On définit les vitesses de déformation linéaire dans les
directions x, y et z dans le cas de la déformation d’un élément tridimensionnel comme :

 xx
x
u
x
=
∂
∂
( ) , 
 yy
y
u
y
=
∂
∂





 , 
 zz
z
u
z
=
∂
∂
( )
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
x
u t
x
y
y
y
u
u
y t
y
y
u y t
y
x
u x t
x
x
x
u
u
x t
x
y
x
x
y
Figure3.8–Écoulementavecdéformationslinéaires(présentation2D).
Remarque :
La déformation volumétrique est nulle dans le cas où le fluide est incompressible. En
effet au premier ordre et pour un fluide incompressible :
1
1
V
dV
dt
x y z
u
x
x y z
u
y
y x z
x
y
=
∂
∂
( ) +
∂
∂






+
∂
Δ Δ Δ
Δ Δ Δ
Δ Δ Δ
u u
z
z x y
u
x
u
z
xx
yy
zz
x
y
∂
( )

 

 
=
+
+
=
∂
∂
( ) +
∂
∂
Δ Δ Δ



y y
u
z
u
z





 +
∂
∂
( ) = ∇ ⋅ =
0
(3.12)
3.4.3Vitessededéformationquelconqued’unélément
fluide
Comme précédemment, on considère la déformation quelconque d’un élément rectangulaire (voir Figure 3.9). Le taux de déformation angulaire est défini comme le taux de
changement d’angle entre les segments linéaires AB et AD (initialement perpendiculaires
entre eux).
9782100549337-Livre.indb 64
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