Chapitre3•Cinématiquedesfluides
60
Par conséquent, comme Δ
Δ Δ
Δ Δ
Δ
x u t y u t z u t
x
y
z
=
=
=
, 
, 
 :
lim
Δ
Δ
Δ
t
t
d
dt
→
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
u
u
u
t
u
u
x
u
u
y
u
u
x
x
x
x
x
y
x
z
x
z z
a
u
u
u
t
u
u
x
u
u
y
u
x
y
y
y
x
y
y
y
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
→
lim
Δ
Δ
Δ
t
t
d
dt
0
z z
y
y
z
z
z
x
z
y
u
z
a
u
u
u
t
u
u
x
u
u
∂
∂
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
→
lim
Δ
Δ
Δ
t
t
d
dt
0
z z
z
z
z
y
u
u
z
a
∂
+
∂
∂
=




 





(3.7)
ou :
d
dt
dérivée particulaire   dérivée temporelle
=
∂
∂t
   
dérivée convective
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
u x
u y
u z
x
y
z
(3.8)
On peut résumer ainsi le type découlement qu’on obtient en fonction de l’existence ou
non des accélérations temporelle et convective :
Tableau3.1
Type d’écoulement
Accélération
temporelle
Accélération
convective
uniforme et stationnaire
0
0
non-uniforme et stationnaire
0
 0
instationnaire et uniforme
 0
0
instationnaire et non-uniforme
 0
 0
3.3 lignes de couranT, TraJecToires
eT lignes d’émission
3.3.1Lignesdecourant
Pour un instant fixé, lorsqu’une ligne est tracée de façon à ce que le vecteur vitesse soit tangent à cette ligne, en chacun de ses points, alors cette courbe est appelée ligne de courant.
Soit ds
un segment de courbe infinitésimal, le vecteur vitesse u
 est porté par ce segment (voir Figure 3.2). Ces deux vecteurs sont colinéaires, ce qui permet d’écrire en
coordonnées cartésiennes :
u
s
u z u y
u x u z
u y u x
y
z
z
x
x
y
∧
= =
−
−
−
d
d
d
d
d
d
d
0
9782100549337-Livre.indb 60
31/07/11 12:58