3.2•Dérivéeparticulaireetaccélération
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
3.1.2Méthodeeulérienne(LeonhardEuler,1707-1783)
Elle consiste à établir à un instant t donné l’ensemble des vitesses associées à chaque
point de l’espace occupé par le fluide. La représentation mathématique de la méthode
eulérienne s’écrit pour la vitesse : u S t
,  
( ) où u
i
j
k
u
u
u
x
y
z




=
+
+
et S
i
j
k
x
y
z
=
+
+
. Par ailleurs les composantes du champ de vitesse s’expriment sous la forme :
u
u x y z t
u
u x y z t
u
u x y z t
x
x
y
y
z
z
= (
)
= (
)
= (
,  ,  ,
,  ,  ,
,  ,  , ) )





(3.4)
3.1.3Relationentrelaméthodeeulérienneetlagrangienne
La méthode d’Euler permet d’exprimer la vitesse comme :
u S
S
t
,  
d
dt
( ) = 
d
d
d
d
d
d
x
t
u x y z t
y
t
u x y z t
z
t
u x y
x
y
z
= (
)
= (
)
=
,  ,  ,
,  ,  ,
,  , ,  ,
z t
(
)









(3.5)
Si on intègre le système d’équations ci-dessus, on aboutit à des constantes d’intégration qui doivent être trouvées à partir des conditions initiales. La solution donne alors les
équations de Lagrange : S S t
0 , 
( ) et on retrouve le système d’équations (3.1). En principe
la méthode lagrangienne peut donc être déduite de l’approche eulérienne.
3.2 dérivée ParTiculaire eT accéléraTion
Soit la forme eulérienne de la vitesse (voir relation (3.5)). Après un instant Dt, les
coordonnées et les vitesses subissent les changements x
x y
y z
z
+
+
+
(
)
Δ
Δ
Δ
, 
, 
et
u
u u
u u
u
x
x
y
y
z
z
+
+
+
(
)
Δ
Δ
Δ
, 
, 
respectivement. En développant en série de Taylor, on a :
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ Δ Δ Δ
u
u
x
x
u
y
y
u
z
z
u
t
t
x y z
x
x
x
x
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ O
, , , t t
u
u
x
x
u
y
y
u
z
z
u
t
t
x y
y
y
y
y
y
(
)
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
O
, ,Δ Δ Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
z t
u
u
x
x
u
y
y
u
z
z
u
t
t
x
z
z
z
z
z
,
(
)
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ O
, , , ,
Δ Δ Δ
y z t
(
)




 





(3.6)
9782100549337-Livre.indb 59
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