Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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3.1.1Méthodelagrangienne
(JosephLouisLagrange,1736-1813)
Elle consiste à suivre chaque particule matérielle prise individuellement dans son mouvement au cours du temps.
Soit S S t
0 ,
( ) le vecteur position d’une particule donnée et S 0
est sa position initiale
au temps initial t 0 . En coordonnées cartésiennes : S
i
j
k
x
y
z
=
+
+
qui s’écrit aussi :
x x x y z t
y y x y z t
z z x
= (
)
= (
)
=
0
0
0
0
0
0
0
, , ,
, , ,
, , , ,
y z t
0
0
(
)
(3.1)
P( )
t 1
P( )
t 2
P( )
t 3
P( )
t 4
particule uide
trajectoire
Figure3.1–TrajectoiredelaparticuleP.
où x y z
0
0
0
, , sont les coordonnées initiales et x y z
, , les coordonnées au temps t de la
particule.
La vitesse u u u u
x
y
z
, ,
(
) en S 0
peut être calculée par :
u
S
t
u
x
t
u
S
x
x y z
y
=
= ( )
=
=
d
d
d
d
d
0
0
0
0
, ,
;
y y
t
u
z
t
x y z
z
x y z
d
d
d
( )
= ( )
0
0
0
0
0
0
, ,
, ,
;
(3.2)
L’accélération en S 0
est :
a
S
t
a
x
t
S
x
x y
=
=
=
d
d
d
d
2
2
2
2
0
0
0
, ,
, ,
;
;
z
y
x y z
z
a
y
t
a
z
t
0
0
0
0
2
2
2
2
=
=
d
d
d
d
x y z
0
0
0
, ,
(3.3)
Les avantages de la représentation lagrangienne sont :
• la trajectoire de chaque particule fluide est connue, son histoire peut être tracée ;
• la conservation de la masse est satisfaite.
Les inconvénients de cette représentation sont liés au fait que les fluides sont composés d’un très grand nombre de particules. Les interactions entre les particules sont donc
difficiles à décrire. La méthode lagrangienne n’est donc pas pratique pour des applications réelles mais elle peut être utilisée pour les sprays, la dynamique des bulles et des
particules ou les gaz raréfiés par exemple.
9782100549337-Livre.indb 58
31/07/11 12:58
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3.1.1Méthodelagrangienne
(JosephLouisLagrange,1736-1813)
Elle consiste à suivre chaque particule matérielle prise individuellement dans son mouvement au cours du temps.
Soit S S t
0 ,
( ) le vecteur position d’une particule donnée et S 0
est sa position initiale
au temps initial t 0 . En coordonnées cartésiennes : S
i
j
k
x
y
z
=
+
+
qui s’écrit aussi :
x x x y z t
y y x y z t
z z x
= (
)
= (
)
=
0
0
0
0
0
0
0
, , ,
, , ,
, , , ,
y z t
0
0
(
)
(3.1)
P( )
t 1
P( )
t 2
P( )
t 3
P( )
t 4
particule uide
trajectoire
Figure3.1–TrajectoiredelaparticuleP.
où x y z
0
0
0
, , sont les coordonnées initiales et x y z
, , les coordonnées au temps t de la
particule.
La vitesse u u u u
x
y
z
, ,
(
) en S 0
peut être calculée par :
u
S
t
u
x
t
u
S
x
x y z
y
=
= ( )
=
=
d
d
d
d
d
0
0
0
0
, ,
;
y y
t
u
z
t
x y z
z
x y z
d
d
d
( )
= ( )
0
0
0
0
0
0
, ,
, ,
;
(3.2)
L’accélération en S 0
est :
a
S
t
a
x
t
S
x
x y
=
=
=
d
d
d
d
2
2
2
2
0
0
0
, ,
, ,
;
;
z
y
x y z
z
a
y
t
a
z
t
0
0
0
0
2
2
2
2
=
=
d
d
d
d
x y z
0
0
0
, ,
(3.3)
Les avantages de la représentation lagrangienne sont :
• la trajectoire de chaque particule fluide est connue, son histoire peut être tracée ;
• la conservation de la masse est satisfaite.
Les inconvénients de cette représentation sont liés au fait que les fluides sont composés d’un très grand nombre de particules. Les interactions entre les particules sont donc
difficiles à décrire. La méthode lagrangienne n’est donc pas pratique pour des applications réelles mais elle peut être utilisée pour les sprays, la dynamique des bulles et des
particules ou les gaz raréfiés par exemple.
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