2.7•Principed’Archimède
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Le moment, au centre G d’inertie du solide, des efforts de pression, est :
M
GM p n S
M S
G
S
= −
∧
∀ ∈
∫∫
d ,
(2.48)
Par définition du centre d’inertie, on a :
GM V
M V
V
d
∫∫∫
=
∀ ∈
0,
(2.49)
Nous utilisons la relation du rotationnel pour transformer l’intégrale de surface (2.48)
en intégrale de volume :
−
∧
=
∇ ∧ (
) = ∇ ∧
∫∫
∫∫∫
GM p n S
pGM V
p GM
S
V
d
d
dV
V
∫∫∫
(2.50)
Soit, en utilisant la relation de l’hydrostatique (2.16) et la relation (2.49) :
M
g
GM V
G
f
V
=
∧
=
∫∫∫

d
0
(2.51)
Cette relation démontre que le centre de poussée coïncide avec le centre de masse du
solide et ceci quelle que soit la forme du solide immergé.
Dans le cas d’un solide partiellement immergé dans deux fluides, la démonstration
reste simple. Il suffit en effet de reprendre les relations (2.43) à (2.47) en décomposant
la surface en 2 surfaces associées chacune au fluide concerné comme cela est représenté
sur la Figure 2.9. On note que le point B d’application de la poussée ne correspond plus
avec le centre de masse G du solide étant donné que les deux fluides ont des masses
volumiques différentes.
Figure2.9–Application
delapousséed’Archimèdesuruncorps
partiellementimmergé.
G
mg
F
S
r
r
2
1
2
S 1
V 1
V 2
B
Dès lors la poussée d’Archimède s’exprime sous la forme :
F
g V
g V
V
V g
V
V
= −
−
= −
+
(
)
∫∫∫
∫∫∫




1
2
1 1
2 2
1
2
d
d
(2.52)
Généralisationduprincipe
Dans une situation d’équilibre, tout corps partiellement immergé entre deux fluides
au repos subit une poussée verticale ascendante qui est égale aux volumes des deux
fluides déplacés.
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