Chapitre2•Statiquedesfluides
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où r est la constante des gaz parfaits. En introduisant cette fonction de r dans la relation
(2.17), on trouve :
d
d
p z
p
r T
g z
( ) = −
(2.22)
Soit :
d
d
p
p
g
r T
z
= −
(2.23)
Et donc, si l’on suppose une atmosphère isotherme (la température ne dépend pas de
z) :
d
d
p
p
g
r T
z
p
p
z
0
0
∫
∫
= −
(2.24)
Ce qui donne finalement :
p p e
g
r T
z
=
−
0
(2.25)
De manière générale, pour traduire une dépendance de la masse volumique à la pression il faut utiliser le coefficient de compressibilité isotherme  T qui traduit la variation
de volume du fluide en fonction de la pression à température constante (défini au chapitre
1) :
χ
ρ
ρ
T
T
p
=
∂
∂






1
(2.26)
Soit :
d
d
ρ
ρ
χ
 T p
(2.27)
En intégrant et en supposant que la compressibilité isotherme est constante, cela
conduit à :
ρ ρ χ
=
−
(
)
0
0
e T p p
(2.28)
En remplaçant cette expression de r dans la relation (2.17), on trouve :
d
d
p
e
g z
T p p
= −
−
(
)
ρ χ
0
0
(2.29)
Soit :
e
p
g z
T p p
−
−
(
)
= −
χ
ρ
0
0
d
d
(2.30)
Que l’on intègre :
e
p
g z
T p p
p
p
z
−
−
(
)
∫
∫
= −
χ
ρ
0
0
0
0
d
d
(2.31)
Ce qui conduit au résultat final :
p p
g z
T
T
=
−
+
(
)
0
0
1
1
χ
χ ρ
ln
(2.32)
9782100549337-Livre.indb 40
31/07/11 12:57