2.3•Intégrationdelarelationdel’hydrostatique
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Exercice : atmosphère polytropique
Dans l’atmosphère, on admet que les variables thermodynamiques vérifient les
lois polytropiques suivantes :
T
T
p
p
x
x
x
0
0
1
0
1
=






=






−
−


Avec 1  
x  (défini au chapitre 1). À partir de la relation de l’hydrostatique,
déterminer les fonctions p z
( ),  z
( ) et T z
( ).
Solution. La relation de l’hydrostatique (∇ =
p
g
 ) s’écrit :
d
dz
p
p
g
p
p
p
x
0
0
0
0
1





 = −







Posons les changements de variables : ′ =
z
z
g
p
 0
0
et ′ =
p
p
p 0
. La relation précédente devient alors :
d
d
′
′
′
= −
−
p
z
p x
1
1
/
Soit :
′ =
−
− ′
(
)
−
p
A
x
x
z
x
x
1
1
Pour z = 0 on a p p
 0 , la constante d’intégration est A = 1 et on en déduit le résultat final :
p
p
x
x
z
g
p
x
x
0
0
0
1
1
1
= −
−






−

(2.33)
et par conséquent :



0
0
0
1
1
1
1
= −
−






−
x
x
z
g
p
x
T
T
x
x
z
g
p
0
0
0
1
1
= −
−







9782100549337-Livre.indb 41
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