2.3•Intégrationdelarelationdel’hydrostatique
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2.3 inTégraTion de la relaTion
de l’hydrosTaTique
Plaçons-nous dans le cas le plus simple où la masse volumique est indépendante de la
pression et où la pression ne varie qu’avec l’altitude z. La projection de la relation (2.16)
selon l’axe z ascendant (voir Figure 2.3) conduit à :
d
d
p z
g z
( ) = −
(2.17)
Cette relation s’intègre facilement :
d
d
p z
g z
p
p
z
( ) = −
∫
∫
0
0

(2.18)
Soit :
p z
p
g z
( ) −
= −
0

(2.19)
p 0 est une pression de référence prise à une altitude de référence nulle. On pourra ainsi
écrire que la différence de pression entre deux points A et B, aux altitudes z A et z B respectivement, dans un fluide au repos est :
p
p
z
z
h
B
A
B
A
−
=
−
(
) =


(2.20)
où γ ρ
 g est appelé le poids spécifique du fluide (voir chapitre 1). Comme le montre
la relation (2.19), cette différence de pression est indépendante de la position des points
sur le plan (xy). Ceci est illustré sur la Figure 2.3. Il est souvent utile dans le cas des problèmes à surface libre (tel représenté sur cette figure) de prendre l’altitude de référence
à la surface libre et dans ce cas la pression de référence est la pression atmosphérique.
A
B
h
C
p atm
surface libre
z
r
plan ( )
xy A
plan ( )
xy B
Figure2.3–Différencedepressionentre2pointsd’unfluideaurepos.
Lorsque la masse volumique du fluide varie avec la pression ou avec la température on
doit alors connaître la fonction  p T
,
(
) pour résoudre la relation (2.16) de l’hydrostatique.
Considérons par exemple la variation donnée par la loi des gaz parfaits (voir chapitre 1) :
p r T


(2.21)
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