2.2•Relationdelastatique
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
• les forces de pression exercées sur les surfaces du parallélépipède. On suppose ici que
le volume est de dimensions infiniment petites pour que l’on puisse considérer que
la pression p exercée sur chaque surface élémentaire est uniforme. En appliquant la
définition de la force de pression, la résultante des actions de pression suivant x est :
R
F
F
p x y z y z p x
x y z y z
x
x
x x
=
−
= (
)
−
+
(
)
+
, ,
, ,
(2.4)
Comme dx est un infiniment petit, on peut effectuer un développement limité au premier ordre de p x
x y z
+
(
)
, , sous la forme :
p x
x y z
p x y z
x
p x y z
x
+
(
) = (
) +
∂ (
)
∂
+
, ,
, ,
, ,
(2.5)
On trouve alors :
R
p x y z
x
x y z
x = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.6)
En effectuant le même raisonnement suivant y et z on trouve :
R
p x y z
y
x y z
y = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.7)
et
R
p x y z
z
x y z
z = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.8)
Le volume de fluide étant à l’équilibre, les forces de pressions équilibrent le poids. On
en déduit alors à partir des relations (2.3), (2.6), (2.7) et (2.8) que :
∂ (
)
∂
=
∂ (
)
∂
=
∂ (
)
∂
= −
p x y z
x
p x y z
y
p x y z
z
g
, ,
, ,
, ,
0
0
(2.9)
Soit encore de manière plus synthétique :
∇ =
p
g
(2.10)
La dernière relation est appelée relation de l’hydrostatique. Elle démontre, qu’à masse
volumique et accélération de la pesanteur constantes, plus grande est la profondeur dans
le fluide et plus grande est la pression.
2.2.3Utilisationdelaformulationcontinue
Considérons le domaine fluide représenté sur la Figure 2.2 et isolons un volume élémentaire dV et d’aire dS entourant un point M de ce domaine. Le fluide étant toujours au
repos, nous lui appliquons le principe fondamental de la statique. Comme précédemment
nous distinguons pour les efforts exercés sur ce volume élémentaire :
9782100549337-Livre.indb 37
31/07/11 12:57
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
• les forces de pression exercées sur les surfaces du parallélépipède. On suppose ici que
le volume est de dimensions infiniment petites pour que l’on puisse considérer que
la pression p exercée sur chaque surface élémentaire est uniforme. En appliquant la
définition de la force de pression, la résultante des actions de pression suivant x est :
R
F
F
p x y z y z p x
x y z y z
x
x
x x
=
−
= (
)
−
+
(
)
+
, ,
, ,
(2.4)
Comme dx est un infiniment petit, on peut effectuer un développement limité au premier ordre de p x
x y z
+
(
)
, , sous la forme :
p x
x y z
p x y z
x
p x y z
x
+
(
) = (
) +
∂ (
)
∂
+
, ,
, ,
, ,
(2.5)
On trouve alors :
R
p x y z
x
x y z
x = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.6)
En effectuant le même raisonnement suivant y et z on trouve :
R
p x y z
y
x y z
y = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.7)
et
R
p x y z
z
x y z
z = −
∂ (
)
∂
, ,
(2.8)
Le volume de fluide étant à l’équilibre, les forces de pressions équilibrent le poids. On
en déduit alors à partir des relations (2.3), (2.6), (2.7) et (2.8) que :
∂ (
)
∂
=
∂ (
)
∂
=
∂ (
)
∂
= −
p x y z
x
p x y z
y
p x y z
z
g
, ,
, ,
, ,
0
0
(2.9)
Soit encore de manière plus synthétique :
∇ =
p
g
(2.10)
La dernière relation est appelée relation de l’hydrostatique. Elle démontre, qu’à masse
volumique et accélération de la pesanteur constantes, plus grande est la profondeur dans
le fluide et plus grande est la pression.
2.2.3Utilisationdelaformulationcontinue
Considérons le domaine fluide représenté sur la Figure 2.2 et isolons un volume élémentaire dV et d’aire dS entourant un point M de ce domaine. Le fluide étant toujours au
repos, nous lui appliquons le principe fondamental de la statique. Comme précédemment
nous distinguons pour les efforts exercés sur ce volume élémentaire :
9782100549337-Livre.indb 37
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