1.7•Relationsthermodynamiquesdesgazparfaits
17
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En utilisant l’équation des gaz parfaits, on a alors :
d
d
d
s C
T
T
r
P
P
p
=
−
(1.32)
Soit en intégrant (pour C p constant) :
s
s
C
T
T
r
P
P
p
2
1
2
1
2
1
− =
−
ln
ln
(1.33)
D’une façon similaire, en utilisant la relation (1.28), on obtient :
s
s
C
T
T
r
v
v
p
2
1
2
1
2
1
− =
+
ln
ln
(1.34)
Cas isentropique : lorsque la transformation est isentropique, elle est réversible et adiabatique (dq = 0 et ds irrev 0 ds = 0). Les relations (1.33) et
(1.21) nous donnent alors :
P
P
T
T
2
1
2
1
1
=
−
(
)
/
(1.35)
De façon similaire, on obtient d’après la relation (1.34) :
v
v
T
T
2
1
2
1
1
1
=
−
−
(
)
/
(1.36)
ou alors :
ρ
ρ
γ
2
1
2
1
1
1
=
−
(
)
T
T
/
(1.37)
Les relations (1.35) à (1.37) sont appelées équations de Laplace.
1.7.5Compressibilité
a) Coefficient de compressibilité
Le module d’élasticité définit la variation de pression en fonction de la variation du
volume et est défini par :
E
P
V V
V
=
−
→
lim
0
(1.38)
où V est le volume et P la pression. Le signe (-) vient du fait que lorsque la pression augmente, le volume diminue. La conservation de la masse indique que :
d
d
m
V
V
V
= ⇒ ( ) = ⇒
= −
0
0
ρ
δ
δρ
ρ
(1.39)
Donc :
E
P
P
=
=
→
lim
δρ
δ
δρ ρ
ρ ρ
0
d
d
(1.40)
9782100549337-Livre.indb 17
31/07/11 12:56
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
En utilisant l’équation des gaz parfaits, on a alors :
d
d
d
s C
T
T
r
P
P
p
=
−
(1.32)
Soit en intégrant (pour C p constant) :
s
s
C
T
T
r
P
P
p
2
1
2
1
2
1
− =
−
ln
ln
(1.33)
D’une façon similaire, en utilisant la relation (1.28), on obtient :
s
s
C
T
T
r
v
v
p
2
1
2
1
2
1
− =
+
ln
ln
(1.34)
Cas isentropique : lorsque la transformation est isentropique, elle est réversible et adiabatique (dq = 0 et ds irrev 0 ds = 0). Les relations (1.33) et
(1.21) nous donnent alors :
P
P
T
T
2
1
2
1
1
=
−
(
)
/
(1.35)
De façon similaire, on obtient d’après la relation (1.34) :
v
v
T
T
2
1
2
1
1
1
=
−
−
(
)
/
(1.36)
ou alors :
ρ
ρ
γ
2
1
2
1
1
1
=
−
(
)
T
T
/
(1.37)
Les relations (1.35) à (1.37) sont appelées équations de Laplace.
1.7.5Compressibilité
a) Coefficient de compressibilité
Le module d’élasticité définit la variation de pression en fonction de la variation du
volume et est défini par :
E
P
V V
V
=
−
→
lim
0
(1.38)
où V est le volume et P la pression. Le signe (-) vient du fait que lorsque la pression augmente, le volume diminue. La conservation de la masse indique que :
d
d
m
V
V
V
= ⇒ ( ) = ⇒
= −
0
0
ρ
δ
δρ
ρ
(1.39)
Donc :
E
P
P
=
=
→
lim
δρ
δ
δρ ρ
ρ ρ
0
d
d
(1.40)
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